Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações dadas e observações úteis:
- A função depende de duas variáveis
e . - Precisamos calcular
e . - O denominador
não pode ser zero, então o domínio natural é . Vou assumir esse domínio durante todo o cálculo.
Passo 2
O que é derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , mede como varia quando só mexemos em e mantemos fixo. - Semelhantemente,
mede a variação de quando só mexemos em e mantemos fixo.
Ferramentas que vamos usar (explicadas de modo simples):
- Regra do quociente: se
, então
Aqui
é a derivada de
e
a derivada de
. Para derivadas parciais fazemos a mesma coisa, derivando em relação à variável de interesse e tratando a outra como constante.
- Derivada de potência:
. Em derivadas parciais usamos isso na variável que estamos diferenciando.
Vou aplicar a regra do quociente para
e para
, pois a função é um quociente em
e
.
Passo 3
Cálculo de
usando a regra do quociente.
Identifico
Agora preciso das derivadas parciais em relação a
:
Aplicando a regra do quociente para a derivada parcial em relação a
:
Agora simplifico o numerador passo a passo:
Logo
Posso fatorar
no numerador para ficar mais compacto:
Passo 4
Verificação alternativa (opcional, para fixar a ideia): escrever
como produto e usar regra do produto.
Reescrevo
Regra do produto (em relação a
): se
, então
. Aqui
Aplicando produto:
Colocando sobre um denominador comum
obtemos novamente
, confirmando o resultado anterior.
Passo 5
Cálculo de
.
Volto à identificação do passo 3, mas agora derivo em relação a
. Mantemos
como constante. Usando a regra do quociente:
Então
Podemos também obter isso observando que
é constante e derivando
em relação a
.
Passo 6
Interpretação rápida e lembretes para a prova:
- Em derivadas parciais sempre decore a ideia: derive só a variável de interesse, a outra é tratada como constante.
- Para quocientes use a regra do quociente; para produtos a regra do produto. Às vezes reescrever como produto com potência negativa facilita a conta.
- Não esqueça de verificar domínio: aqui
.