Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
f(x, y)=\frac{2 x}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas e observações úteis:
  • A função depende de duas variáveis x e y.
  • Precisamos calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
  • O denominador x^{2}+y^{2} não pode ser zero, então o domínio natural é (x,y)\neq(0,0). Vou assumir esse domínio durante todo o cálculo.

Passo 2

O que é derivada parcial?
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, mede como f varia quando só mexemos em x e mantemos y fixo.
  • Semelhantemente, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} mede a variação de f quando só mexemos em y e mantemos x fixo.
Ferramentas que vamos usar (explicadas de modo simples):
  1. Regra do quociente: se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u' é a derivada de u e v' a derivada de v. Para derivadas parciais fazemos a mesma coisa, derivando em relação à variável de interesse e tratando a outra como constante.
  1. Derivada de potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Em derivadas parciais usamos isso na variável que estamos diferenciando.
Vou aplicar a regra do quociente para \partial f/\partial x e para \partial f/\partial y, pois a função é um quociente em x e y.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} usando a regra do quociente.
Identifico
u(x,y)=2x,\qquad v(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Agora preciso das derivadas parciais em relação a x:
\frac{\partial u}{\partial x}=2,\qquad \frac{\partial v}{\partial x}=2x.
Aplicando a regra do quociente para a derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\frac{\partial u}{\partial x}\,v - u\,\frac{\partial v}{\partial x}}{v^{2}} = \frac{2(x^{2}+y^{2}) - 2x\cdot(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora simplifico o numerador passo a passo:
2(x^{2}+y^{2}) - 4x^{2} = 2x^{2}+2y^{2}-4x^{2} = -2x^{2}+2y^{2}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{-2x^{2}+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Posso fatorar 2 no numerador para ficar mais compacto:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Verificação alternativa (opcional, para fixar a ideia): escrever f como produto e usar regra do produto.
Reescrevo
f(x,y)=2x\,(x^{2}+y^{2})^{-1}.
Regra do produto (em relação a x): se h(x)=p(x)q(x), então h'=p'q+pq'. Aqui
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x\bigr)=2,\qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl((x^{2}+y^{2})^{-1}\bigr)=-1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2x=-\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Aplicando produto:
\frac{\partial f}{\partial x}=2\cdot (x^{2}+y^{2})^{-1} + 2x\cdot\Bigl(-\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\Bigr) =\frac{2}{x^{2}+y^{2}}-\frac{4x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Colocando sobre um denominador comum (x^{2}+y^{2})^{2} obtemos novamente \dfrac{2(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, confirmando o resultado anterior.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Volto à identificação do passo 3, mas agora derivo em relação a y. Mantemos x como constante. Usando a regra do quociente:
\frac{\partial u}{\partial y}=0\quad(\text{pois }u=2x\text{ não depende de }y), \qquad \frac{\partial v}{\partial y}=2y.ã
Então
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{0\cdot (x^{2}+y^{2}) - 2x\cdot(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{-4xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Podemos também obter isso observando que 2x é constante e derivando (x^{2}+y^{2})^{-1} em relação a y.

Passo 6

Interpretação rápida e lembretes para a prova:
  • Em derivadas parciais sempre decore a ideia: derive só a variável de interesse, a outra é tratada como constante.
  • Para quocientes use a regra do quociente; para produtos a regra do produto. Às vezes reescrever como produto com potência negativa facilita a conta.
  • Não esqueça de verificar domínio: aqui (x,y)\neq(0,0).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\frac{4xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}

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