Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
f(x, y, z)=x y-3 x^{2} z^{3} \sqrt{y}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=x y-3 x^{2} z^{3} \sqrt{y}.
Questões claras: calcular
\frac{\partial f}{\partial x},\qquad \frac{\partial f}{\partial y},\qquad \frac{\partial f}{\partial z}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
f(x,y,z)=x y-3 x^{2} z^{3} \sqrt{y}.
Observação importante (para onde as derivadas existem): como há \sqrt{y}, as expressões usuais com derivadas em termos de y^{-1/2} exigem y>0 para evitar problemas no ponto y=0. Vou assumir y>0 ao escrever as formas com \sqrt{y} no denominador.

Passo 2

Definição e regra prática que usaremos (sem formalismo excessivo): a derivada parcial de f em relação a uma variável significa diferenciar em relação a essa variável tratando as demais como constantes. Em prática, usamos as regras normais de derivação (derivada de potência, regra do produto, constante multiplicativa) aplicadas mantendo as outras variáveis fixas.
Recordes rápidos que usarei:
\frac{d}{dx}(x^n)=n x^{n-1},\qquad \frac{d}{dx}(a\cdot g(x))=a\cdot g'(x)\\ \text{se }a\text{ é constante},é
\frac{d}{dy}\bigl(y^{1/2}\bigr)=\frac{1}{2}y^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{y}}.
Também lembraremos da regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, (uv)'=u'v+uv'. Aqui usaremos essa ideia quando necessário, mas muitas vezes conseguimos tratar fatores como constantes.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Escrevo a função isolando potências de x:
f(x,y,z)=x y-3 x^{2} z^{3} y^{1/2}.
Ao diferenciar em relação a x, y e z são constantes. Derivo termo a termo:
  1. Derivada de x y em relação a x: como y é constante, \dfrac{\partial}{\partial x}(x y)=y.
  2. Derivada de -3 x^{2} z^{3} y^{1/2} em relação a x: fatores z^{3} e y^{1/2} são constantes; aplico a regra da potência a x^{2}:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-3 x^{2} z^{3} y^{1/2}\bigr)=-3 z^{3} y^{1/2}\cdot \frac{d}{dx}(x^{2})=-3 z^{3} y^{1/2}\cdot 2x=-6 x z^{3} y^{1/2}.
Somando os dois resultados:
\frac{\partial f}{\partial x}=y-6 x z^{3} \sqrt{y}.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Novamente escrevo
f(x,y,z)=x y-3 x^{2} z^{3} y^{1/2}.
Agora x e z são constantes ao diferenciar em relação a y.
  1. Derivada de x y em relação a y: como x é constante, \dfrac{\partial}{\partial y}(x y)=x.
  2. Derivada de -3 x^{2} z^{3} y^{1/2} em relação a y: o fator -3 x^{2} z^{3} é constante; aplico a derivada de y^{1/2}:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-3 x^{2} z^{3} y^{1/2}\bigr)=-3 x^{2} z^{3}\cdot \frac{1}{2}y^{-1/2}=-\frac{3}{2} x^{2} z^{3} y^{-1/2}.
Escrevendo com raiz:
-\frac{3}{2} x^{2} z^{3} y^{-1/2}=-\frac{3 x^{2} z^{3}}{2\sqrt{y}}.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}=x-\frac{3 x^{2} z^{3}}{2\sqrt{y}}.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Escrevo novamente a função para clareza:
f(x,y,z)=x y-3 x^{2} z^{3} y^{1/2}.
Ao diferenciar em relação a z, x e y são constantes.
  1. Derivada de x y em relação a z: termo independente de z, então é 0.
  2. Derivada de -3 x^{2} z^{3} y^{1/2} em relação a z: os fatores -3 x^{2} y^{1/2} são constantes; aplico a derivada de z^{3}, que é 3 z^{2}:
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-3 x^{2} z^{3} y^{1/2}\bigr)=-3 x^{2} y^{1/2}\cdot 3 z^{2}=-9 x^{2} z^{2} y^{1/2}.
Portanto:
\frac{\partial f}{\partial z}=-9 x^{2} z^{2} \sqrt{y}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=y-6 x z^{3} \sqrt{y}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x-\frac{3 x^{2} z^{3}}{2\sqrt{y}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=-9 x^{2} z^{2} \sqrt{y}

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