Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
f(x, y, z)=z^{-2 x y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem de f(x,y,z)=z^{-2 x y^{2}}.
Informações dadas e objetivo claros:
  • A função é f(x,y,z)=z^{-2 x y^{2}}.
  • Queremos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
  • Observação importante (domínio): para manipular \ln z e potências com expoente real, vou assumir que z>0. Se o enunciado permitir z\le0 haveria que tratar casos especiais (não faremos isso aqui).

Passo 2

Estratégia e ferramenta principal (aqui explico didaticamente a ideia que vou usar). Uma técnica eficiente para derivar funções da forma f(x,y,z)=h(z)^{g(x,y)} é tomar logaritmo natural e usar diferenciação implícita (log-diferenciação). Isso facilita porque transforma uma potência com expoente que depende de variáveis em produto, que é mais fácil de derivar. Vou aplicar isso com:
g(x,y) = -2 x y^{2},\qquad h(z)=z.
Tomando logaritmo natural:
\ln f = g(x,y)\,\ln z.
Agora uso a regra da cadeia: ao derivar \ln f em relação a uma variável (parcialmente), aparece \frac{1}{f} vezes a derivada parcial de f. Do lado direito uso regra do produto quando necessário, lembrando que \ln z depende só de z e g depende só de x,y.

Passo 3

Derivada parcial em relação a x.
Derivo ambos os lados da igualdade \ln f = g\,\ln z em relação a x:
\frac{1}{f}\,\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial x}\,\ln z + g\,\frac{\partial}{\partial x}(\ln z).
Como \ln z depende apenas de z, \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(\ln z)=0. Portanto
\frac{1}{f}\,\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial x}\,\ln z.
Agora calculo \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}. Como g(x,y)=-2 x y^{2} e y é tratado como constante ao derivar em relação a x,
\frac{\partial g}{\partial x} = -2 y^{2}.
Substituindo:
\frac{1}{f}\,\frac{\partial f}{\partial x} = -2 y^{2}\,\ln z.
Multiplicando por f para isolar \partial f/\partial x:
\frac{\partial f}{\partial x} = f\cdot(-2 y^{2}\,\ln z).
Voltando à expressão original de f, f=z^{-2 x y^{2}}, obtemos
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = -2 y^{2}\,\ln z\; z^{-2 x y^{2}}}.

Passo 4

Derivada parcial em relação a y.
Segue o mesmo raciocínio: derivando \ln f = g\,\ln z em relação a y,
\frac{1}{f}\,\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial y}\,\ln z + g\,\frac{\partial}{\partial y}(\ln z).
De novo \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(\ln z)=0. Então
\frac{1}{f}\,\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial y}\,\ln z.
Calculo \displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}. Como g(x,y)=-2 x y^{2} e x é tratado como constante ao derivar em relação a y, aplico a regra do poder:
\frac{\partial g}{\partial y} = -2 x \cdot 2 y = -4 x y.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y} = f\cdot(-4 x y\,\ln z).
Substituindo f:
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = -4 x y\,\ln z\; z^{-2 x y^{2}}}.

Passo 5

Derivada parcial em relação a z.
Agora derivo \ln f = g\,\ln z em relação a z:
\frac{1}{f}\,\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial g}{\partial z}\,\ln z + g\,\frac{\partial}{\partial z}(\ln z).
Aqui \displaystyle \frac{\partial g}{\partial z}=0 porque g depende só de x,y. E \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}(\ln z)=\frac{1}{z}. Portanto
\frac{1}{f}\,\frac{\partial f}{\partial z} = g\,\frac{1}{z}.
Multiplicando por f,
\frac{\partial f}{\partial z} = f\cdot\frac{g}{z}.
Substituindo g=-2 x y^{2} e f=z^{-2 x y^{2}}:
\frac{\partial f}{\partial z} = z^{-2 x y^{2}}\cdot\frac{-2 x y^{2}}{z} = -2 x y^{2}\, z^{-2 x y^{2}-1}.
Portanto
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} = -2 x y^{2}\; z^{-2 x y^{2}-1}}.

Passo 6

Pequena verificação numérica para intuição (opcional, só pra sentir que as fórmulas fazem sentido). Se x=1, y=1, z=e (então \ln z=1):
  • f=e^{-2}.
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = -2\cdot1^{2}\cdot1\cdot e^{-2} = -2 e^{-2}. Faz sentido: aumentar x diminui a potência negativa, reduzindo f.
    Isso é só para intuir; as fórmulas gerais acima valem para todo z>0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = -2 y^{2}\,\ln z\; z^{-2 x y^{2}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = -4 x y\,\ln z\; z^{-2 x y^{2}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} = -2 x y^{2}\; z^{-2 x y^{2}-1}

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