Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem de
.
Informações dadas e objetivo claros:
Informações dadas e objetivo claros:
- A função é
. - Queremos
, e . - Observação importante (domínio): para manipular
e potências com expoente real, vou assumir que . Se o enunciado permitir haveria que tratar casos especiais (não faremos isso aqui).
Passo 2
Estratégia e ferramenta principal (aqui explico didaticamente a ideia que vou usar). Uma técnica eficiente para derivar funções da forma
é tomar logaritmo natural e usar diferenciação implícita (log-diferenciação). Isso facilita porque transforma uma potência com expoente que depende de variáveis em produto, que é mais fácil de derivar. Vou aplicar isso com:
Tomando logaritmo natural:
Agora uso a regra da cadeia: ao derivar
em relação a uma variável (parcialmente), aparece
vezes a derivada parcial de
. Do lado direito uso regra do produto quando necessário, lembrando que
depende só de
e
depende só de
.
Passo 3
Derivada parcial em relação a
.
Derivo ambos os lados da igualdade
em relação a
:
Como
depende apenas de
,
. Portanto
Agora calculo
. Como
e
é tratado como constante ao derivar em relação a
,
Substituindo:
Multiplicando por
para isolar
:
Voltando à expressão original de
,
, obtemos
Passo 4
Derivada parcial em relação a
.
Segue o mesmo raciocínio: derivando
em relação a
,
De novo
. Então
Calculo
. Como
e
é tratado como constante ao derivar em relação a
, aplico a regra do poder:
Logo
Substituindo
:
Passo 5
Derivada parcial em relação a
.
Agora derivo
em relação a
:
Aqui
porque
depende só de
. E
. Portanto
Multiplicando por
,
Substituindo
e
:
Portanto
Passo 6
Pequena verificação numérica para intuição (opcional, só pra sentir que as fórmulas fazem sentido). Se
,
,
(então
):
-
. -
. Faz sentido: aumentar diminui a potência negativa, reduzindo .
Isso é só para intuir; as fórmulas gerais acima valem para todo.