Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações dadas e observações iniciais:
- As variáveis independentes são
, e . - Devemos encontrar
, e . - A expressão
exige ; portanto a fórmula vale no domínio onde .
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (explicados de forma simples):
- Definição de derivada parcial: para derivar em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes. Por exemplo,
Na prática usamos as regras usuais de derivação (produto, cadeia) mas lembrando que outros símbolos são constantes.
- Regra do produto (caso geral): se
então
No caso de derivada parcial, a mesma ideia vale: se um fator não depende da variável em que derivamos, seu derivado é zero e ele fica como constante multiplicando.
- Regra da cadeia para a função arco-tangente: se
e , então
Aqui a função interna será
. A derivada dessa função em relação a
(com
constante) é
; em relação a
(com
constante) é
.
- Derivada de potência simples:
.
Passo 3
Cálculo de
.
- Tratamos
e como constantes. O fator não depende de , logo
- Aplicando regra da cadeia com
:
- Como
é constante, . Portanto
- Simplificando a fração:
. O inverso é . Multiplicando por obtemos . Assim
Passo 4
Cálculo de
.
- Agora
e são tratados como constantes. Novamente é constante frente a , então
- Aplicando regra da cadeia com
:
- Agora
é constante, então . - Substituindo:
- Como antes,
. Ao dividir por isso, obtemos . Portanto
Passo 5
Cálculo de
.
- Aqui
e são constantes, então é constante em relação a . Aplicando a derivada de obtém-se