Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
f(x, y, z)=z^{2} \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{y}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=z^{2}\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right).
Informações dadas e observações iniciais:
  • As variáveis independentes são x, y e z.
  • Devemos encontrar \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} e \frac{\partial f}{\partial z}.
  • A expressão \operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right) exige y\neq 0; portanto a fórmula vale no domínio onde y\neq 0.

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Definição de derivada parcial: para derivar em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes. Por exemplo,
\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
Na prática usamos as regras usuais de derivação (produto, cadeia) mas lembrando que outros símbolos são constantes.
  • Regra do produto (caso geral): se F(x)=A(x)\,B(x) então
F'(x)=A'(x)B(x)+A(x)B'(x).
No caso de derivada parcial, a mesma ideia vale: se um fator não depende da variável em que derivamos, seu derivado é zero e ele fica como constante multiplicando.
  • Regra da cadeia para a função arco-tangente: se g(u)=\operatorname{arctg}(u) e u=u(t), então
\frac{d}{dt}\operatorname{arctg}(u(t))=\frac{u'(t)}{1+u(t)^{2}}.
Aqui a função interna será u=\dfrac{x}{y}. A derivada dessa função em relação a x (com y constante) é 1/y; em relação a y (com x constante) é -x/y^{2}.
  • Derivada de potência simples: \dfrac{d}{dz}z^{2}=2z.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Tratamos y e z como constantes. O fator z^{2} não depende de x, logo
\frac{\partial f}{\partial x}=z^{2}\cdot\frac{d}{dx}\left[\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right)\right].
  • Aplicando regra da cadeia com u=\dfrac{x}{y}:
\frac{d}{dx}\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{1+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{y}\right).
  • Como y é constante, \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x}{y}\right)=\dfrac{1}{y}. Portanto
\frac{d}{dx}\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{1+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}}\cdot\frac{1}{y}.
  • Simplificando a fração: 1+\left(\dfrac{x}{y}\right)^{2}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}}. O inverso é \dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}. Multiplicando por \dfrac{1}{y} obtemos \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}. Assim
\frac{\partial f}{\partial x}=z^{2}\cdot\frac{y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{z^{2}y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Agora x e z são tratados como constantes. Novamente z^{2} é constante frente a y, então
\frac{\partial f}{\partial y}=z^{2}\cdot\frac{d}{dy}\left[\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right)\right].
  • Aplicando regra da cadeia com u=\dfrac{x}{y}:
\frac{d}{dy}\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{1+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}}\cdot\frac{d}{dy}\left(\frac{x}{y}\right).
  • Agora x é constante, então \dfrac{d}{dy}\left(\dfrac{x}{y}\right)=x\cdot\dfrac{d}{dy}\left(y^{-1}\right)=x\cdot(-1)y^{-2}=-\dfrac{x}{y^{2}}.
  • Substituindo:
\frac{d}{dy}\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{-\dfrac{x}{y^{2}}}{1+\left(\dfrac{x}{y}\right)^{2}}.
  • Como antes, 1+\left(\dfrac{x}{y}\right)^{2}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}}. Ao dividir -\dfrac{x}{y^{2}} por isso, obtemos -\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}. Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=z^{2}\cdot\left(-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)=-\frac{z^{2}x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial z}.
  • Aqui x e y são constantes, então \operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{x}{y}\right) é constante em relação a z. Aplicando a derivada de z^{2} obtém-se
\frac{\partial f}{\partial z}= \frac{d}{dz}\left(z^{2}\right)\cdot \operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right)=2z\cdot\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{z^{2}y}{x^{2}+y^{2}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{z^{2}x}{x^{2}+y^{2}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=2z\,\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right)

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