Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de primeira ordem. Ou seja, precisamos encontrar explicitamente
e
.
As informações relevantes que temos: a expressão interna e a operação externa raiz cúbica sobre essa expressão.
As informações relevantes que temos: a expressão interna
Passo 2
Vamos escrever
como composição de duas funções mais simples, para aplicar a regra da cadeia de forma clara. Definimos
e
Assim
Essa reescrita é útil porque permite separar a derivação em duas etapas: derivar
em relação a
e derivar
em relação a
ou
.
Passo 3
Explicando a regra da cadeia para funções de várias variáveis (aulasão curta e direta): se
, então a derivada parcial de
em relação a
é
Analogamente, em relação a
:
Intuição: você primeiro vê como a saída muda quando a entrada
muda (isso é
) e multiplica por quanto a entrada
muda quando mexemos em
ou
(isso é
ou
).
Passo 4
Calculamos
para
. Usamos a regra do poder (power rule): se
então
. Aqui
, logo
Ou seja, de volta a
:
Passo 5
Agora calculamos as derivadas parciais de
. Lembre-se: ao derivar parcialmente em relação a
tratamos
como constante.
A derivada de em relação a
é
. Termos que não dependem de
(como
e
) têm derivada zero. Portanto
A derivada de
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia com os resultados dos passos anteriores, obtemos
Simplificando o fator numérico:
Esse é o resultado final para a derivada parcial em relação a
.
Passo 7
Agora para a derivada parcial em relação a
. Primeiro a derivada parcial de
em relação a
: ao tratar
como constante, a derivada de
é
e
são constantes (derivada zero). Portanto
Passo 8
Aplicando a regra da cadeia para
:
Os fatores
se cancelam, ficando
Passo 9
Observação importante sobre existência: as fórmulas obtidas usam a expressão
. Quando
esse termo explode (comportamento não finito) e as derivadas parciais, pelo cálculo direto pelo quociente incremental, não são finitas nesses pontos. Portanto as fórmulas dadas valem para todos os pontos
tais que
. Em pontos onde
as derivadas parciais não existem como números finitos.