Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
f(x, y)=\sqrt[3]{x^{2}+y^{3}+4}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\sqrt[3]{x^{2}+y^{3}+4}
e pede as derivadas parciais de primeira ordem. Ou seja, precisamos encontrar explicitamente
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y).
As informações relevantes que temos: a expressão interna x^{2}+y^{3}+4 e a operação externa raiz cúbica sobre essa expressão.

Passo 2

Vamos escrever f como composição de duas funções mais simples, para aplicar a regra da cadeia de forma clara. Definimos
h(x,y)=x^{2}+y^{3}+4
e
g(u)=u^{1/3}.
Assim
f(x,y)=g\big(h(x,y)\big).
Essa reescrita é útil porque permite separar a derivação em duas etapas: derivar g em relação a u e derivar h em relação a x ou y.

Passo 3

Explicando a regra da cadeia para funções de várias variáveis (aulasão curta e direta): se f(x,y)=g(h(x,y)), então a derivada parcial de f em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=g'\big(h(x,y)\big)\cdot\frac{\partial h}{\partial x}(x,y).
Analogamente, em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=g'\big(h(x,y)\big)\cdot\frac{\partial h}{\partial y}(x,y).
Intuição: você primeiro vê como a saída muda quando a entrada u muda (isso é g') e multiplica por quanto a entrada u muda quando mexemos em x ou y (isso é \partial h/\partial x ou \partial h/\partial y).

Passo 4

Calculamos g'(u) para g(u)=u^{1/3}. Usamos a regra do poder (power rule): se g(u)=u^{a} então g'(u)=a\,u^{a-1}. Aqui a=\tfrac{1}{3}, logo
g'(u)=\frac{1}{3}\,u^{-2/3}.
Ou seja, de volta a h:
g'\big(h(x,y)\big)=\frac{1}{3}\big(h(x,y)\big)^{-2/3}=\frac{1}{3}\big(x^{2}+y^{3}+4\big)^{-2/3}.

Passo 5

Agora calculamos as derivadas parciais de h(x,y)=x^{2}+y^{3}+4. Lembre-se: ao derivar parcialmente em relação a x tratamos y como constante.
A derivada de x^{2} em relação a x é 2x. Termos que não dependem de x (como y^{3} e 4) têm derivada zero. Portanto
\frac{\partial h}{\partial x}(x,y)=2x.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia com os resultados dos passos anteriores, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{1}{3}\big(x^{2}+y^{3}+4\big)^{-2/3}\cdot 2x.
Simplificando o fator numérico:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x}{3\big(x^{2}+y^{3}+4\big)^{2/3}}.
Esse é o resultado final para a derivada parcial em relação a x.

Passo 7

Agora para a derivada parcial em relação a y. Primeiro a derivada parcial de h em relação a y: ao tratar x como constante, a derivada de y^{3} é 3y^{2} e x^{2}+4 são constantes (derivada zero). Portanto
\frac{\partial h}{\partial y}(x,y)=3y^{2}.

Passo 8

Aplicando a regra da cadeia para \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{1}{3}\big(x^{2}+y^{3}+4\big)^{-2/3}\cdot 3y^{2}.
Os fatores 3 se cancelam, ficando
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{y^{2}}{\big(x^{2}+y^{3}+4\big)^{2/3}}.

Passo 9

Observação importante sobre existência: as fórmulas obtidas usam a expressão \big(x^{2}+y^{3}+4\big)^{-2/3}. Quando x^{2}+y^{3}+4=0 esse termo explode (comportamento não finito) e as derivadas parciais, pelo cálculo direto pelo quociente incremental, não são finitas nesses pontos. Portanto as fórmulas dadas valem para todos os pontos (x,y) tais que \;x^{2}+y^{3}+4\neq 0. Em pontos onde \;x^{2}+y^{3}+4=0 as derivadas parciais não existem como números finitos.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x}{3\big(x^{2}+y^{3}+4\big)^{2/3}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{y^{2}}{\big(x^{2}+y^{3}+4\big)^{2/3}}

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