Determine a diferencial de cada função a seguir.
f(x, y)=\cos \left(x^{2} y\right)

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=\cos\bigl(x^{2}y\bigr)
e pede para determinar a diferencial de f, isto é, encontrar uma expressão para \mathrm{d}f em termos de \mathrm{d}x e \mathrm{d}y.
Informações relevantes que temos: a função é composta (um cosseno aplicado a x^{2}y) e depende das variáveis x e y. A tarefa é obter a diferencial total (a aproximação linear de f quando x e y variam pouco).

Passo 2

Vamos organizar a composição: defina a função intermediária
u(x,y)=x^{2}y.
Aqui u é a parte “dentro” do cosseno. A ideia é usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis: a derivada de f(x,y)=\cos(u(x,y)) em relação a x ou y envolve primeiro a derivada de \cos em relação a u e depois as derivadas parciais de u em relação a x e a y.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de u. Lembre que ao calcular \partial u/\partial x tratamos y como constante, e ao calcular \partial u/\partial y tratamos x como constante.
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y\bigr)=2x\cdot y=2xy,
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y\bigr)=x^{2}.
Expliquei: para \partial u/\partial x derive x^{2} 2x) e multiplique por y (constante). Para \partial u/\partial y derive y (dá 1) e multiplique por x^{2}.

Passo 4

Agora aplique a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de f. A derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u). Portanto:
\frac{\partial f}{\partial x}=-\sin\bigl(u(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=-\sin\bigl(x^{2}y\bigr)\cdot(2xy),
\frac{\partial f}{\partial y}=-\sin\bigl(u(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=-\sin\bigl(x^{2}y\bigr)\cdot x^{2}.
Escrito de forma limpa:
\frac{\partial f}{\partial x}=-2xy\,\sin\bigl(x^{2}y\bigr), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-x^{2}\,\sin\bigl(x^{2}y\bigr).

Passo 5

Recorde a definição da diferencial total: para uma função f(x,y),
\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}\,\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\,\mathrm{d}y.
Aqui \mathrm{d}x e \mathrm{d}y representam pequenos incrementos em x e y. Essa fórmula dá a melhor aproximação linear de f quando x e y mudam pouco:
f(x+\mathrm{d}x,y+\mathrm{d}y)\approx f(x,y)+\mathrm{d}f.

Passo 6

Substitua as derivadas parciais obtidas no passo anterior na fórmula da diferencial:
\mathrm{d}f=-2xy\,\sin\bigl(x^{2}y\bigr)\,\mathrm{d}x - x^{2}\,\sin\bigl(x^{2}y\bigr)\,\mathrm{d}y.
Podemos também fatorar -\sin\bigl(x^{2}y\bigr) se preferir:
\mathrm{d}f=-\sin\bigl(x^{2}y\bigr)\bigl(2xy\,\mathrm{d}x + x^{2}\,\mathrm{d}y\bigr).

Resposta

\mathrm{d}f=-2xy\,\sin\bigl(x^{2}y\bigr)\,\mathrm{d}x - x^{2}\,\sin\bigl(x^{2}y\bigr)\,\mathrm{d}y

Exercícios relacionados