Determine a diferencial de cada função a seguir.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede para determinar a diferencial de
, isto é, encontrar uma expressão para
em termos de
e
.
Informações relevantes que temos: a função é composta (um cosseno aplicado a ) e depende das variáveis
e
. A tarefa é obter a diferencial total (a aproximação linear de
quando
e
variam pouco).
Informações relevantes que temos: a função é composta (um cosseno aplicado a
Passo 2
Vamos organizar a composição: defina a função intermediária
Aqui
é a parte “dentro” do cosseno. A ideia é usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis: a derivada de
em relação a
ou
envolve primeiro a derivada de
em relação a
e depois as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais de
. Lembre que ao calcular
tratamos
como constante, e ao calcular
tratamos
como constante.
Expliquei: para
derive
(é
) e multiplique por
(constante). Para
derive
(dá
) e multiplique por
.
Passo 4
Agora aplique a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de
. A derivada de
em relação a
é
. Portanto:
Escrito de forma limpa:
Passo 5
Recorde a definição da diferencial total: para uma função
,
Aqui
e
representam pequenos incrementos em
e
. Essa fórmula dá a melhor aproximação linear de
quando
e
mudam pouco:
Passo 6
Substitua as derivadas parciais obtidas no passo anterior na fórmula da diferencial:
Podemos também fatorar
se preferir: