Determine a diferencial de cada função a seguir.
f(x, y, z)=(x y)^{z}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=(x y)^{z} e pede para determinar a diferencial de f.
Informações relevantes: as variáveis independentes são x, y e z. Para usar \ln sem ambiguidade, assumimos que x y>0 (então (x y)^{z} pode ser escrito como exponencial usando logaritmo natural). A tarefa é encontrar df, a diferencial total de f.

Passo 2

O que é a diferencial total? Para uma função de três variáveis f(x,y,z), a diferencial total df é dada por
df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy + \frac{\partial f}{\partial z}\,dz.
Aqui \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} e \frac{\partial f}{\partial z} são as derivadas parciais de f; dx, dy, dz representam pequenos incrementos em x,y,z. Nosso objetivo é calcular essas três derivadas parciais.

Passo 3

Uma técnica conveniente é reescrever (x y)^{z} usando exponencial e logaritmo:
f(x,y,z) = (x y)^{z} = e^{z\ln(xy)}.
Explicação curta: para qualquer a>0 e número real b, a^{b}=e^{b\ln a}. Isso torna mais fácil aplicar a regra da cadeia para derivar em relação a cada variável. Lembrando que \ln(xy)=\ln x + \ln y se x>0 e y>0, mas usaremos a forma \ln(xy) diretamente.

Passo 4

Calcule \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}. Usamos a regra da cadeia sobre f=e^{z\ln(xy)}:
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{z\ln(xy)} \cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl(z\ln(xy)\bigr).
Como z é tratado como constante ao derivar em relação a x,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(z\ln(xy)\bigr) = z\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\ln(xy)\bigr).
Agora \ln(xy) depende de x via xy. A derivada de \ln(u) em relação a x é \frac{1}{u}\frac{du}{dx}. Tomando u=xy,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\ln(xy)\bigr) = \frac{1}{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy) = \frac{1}{xy}\cdot y = \frac{1}{x}.
Juntando tudo:
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{z\ln(xy)}\cdot z\cdot\frac{1}{x}.
Como e^{z\ln(xy)}=(xy)^{z}, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} = z\frac{(xy)^{z}}{x}.

Passo 5

Calcule \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}. O procedimento é análogo ao de x. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{z\ln(xy)}\cdot \frac{\partial}{\partial y}\bigl(z\ln(xy)\bigr) = e^{z\ln(xy)}\cdot z\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\ln(xy)\bigr).
Derivando \ln(xy) em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\ln(xy)\bigr)=\frac{1}{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=\frac{1}{xy}\cdot x = \frac{1}{y}.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{z\ln(xy)}\cdot z\cdot\frac{1}{y} = z\frac{(xy)^{z}}{y}.

Passo 6

Calcule \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}. Agora x e y são tratados como constantes e diferenciamos em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z} = e^{z\ln(xy)}\cdot \frac{\partial}{\partial z}\bigl(z\ln(xy)\bigr).
Aqui \frac{\partial}{\partial z}\bigl(z\ln(xy)\bigr)=\ln(xy) porque \ln(xy) é constante em relação a z. Assim,
\frac{\partial f}{\partial z} = e^{z\ln(xy)}\cdot \ln(xy) = (xy)^{z}\ln(xy).

Passo 7

Agora juntamos as derivadas parciais na fórmula da diferencial total:
df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy + \frac{\partial f}{\partial z}\,dz.
Substituindo as expressões obtidas:
df = z\frac{(xy)^{z}}{x}\,dx + z\frac{(xy)^{z}}{y}\,dy + (xy)^{z}\ln(xy)\,dz.
Para ficar mais compacto, podemos fatorar (xy)^{z}:
df = (xy)^{z}\!\left( z\frac{dx}{x} + z\frac{dy}{y} + \ln(xy)\,dz \right).

Resposta

df = z\frac{(xy)^{z}}{x}\,dx + z\frac{(xy)^{z}}{y}\,dy + (xy)^{z}\ln(xy)\,dz

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