Determine a diferencial de cada função a seguir.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a diferencial de
.
Informações relevantes: as variáveis independentes são ,
e
. Para usar
sem ambiguidade, assumimos que
(então
pode ser escrito como exponencial usando logaritmo natural). A tarefa é encontrar
, a diferencial total de
.
Informações relevantes: as variáveis independentes são
Passo 2
O que é a diferencial total? Para uma função de três variáveis
, a diferencial total
é dada por
Aqui
,
e
são as derivadas parciais de
;
,
,
representam pequenos incrementos em
. Nosso objetivo é calcular essas três derivadas parciais.
Passo 3
Uma técnica conveniente é reescrever
usando exponencial e logaritmo:
Explicação curta: para qualquer
e número real
,
. Isso torna mais fácil aplicar a regra da cadeia para derivar em relação a cada variável. Lembrando que
se
e
, mas usaremos a forma
diretamente.
Passo 4
Calcule
. Usamos a regra da cadeia sobre
:
Como
é tratado como constante ao derivar em relação a
,
Agora
depende de
via
. A derivada de
em relação a
é
. Tomando
,
Juntando tudo:
Como
, obtemos
Passo 5
Calcule
. O procedimento é análogo ao de
. Pela regra da cadeia,
Derivando
em relação a
:
Portanto,
Passo 6
Calcule
. Agora
e
são tratados como constantes e diferenciamos em relação a
:
Aqui
porque
é constante em relação a
. Assim,
Passo 7
Agora juntamos as derivadas parciais na fórmula da diferencial total:
Substituindo as expressões obtidas:
Para ficar mais compacto, podemos fatorar
: