Determine a diferencial de cada função a seguir.
u(s, t)=e^{s^{2}-t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a diferencial da função \displaystyle u(s,t)=e^{s^{2}-t^{2}}.
Informações dadas: a função é real, depende de duas variáveis s e t, e está escrita como uma exponencial com expoente s^{2}-t^{2}.
O que se precisa entregar: a expressão da diferencial du em termos de ds e dt.

Passo 2

Lembrete do que é a diferencial para funções de duas variáveis. Se u(s,t) é uma função diferenciável, a diferencial du é a aproximação linear das variações de u quando s e t variam um pouco; a fórmula é
du = \frac{\partial u}{\partial s}\,ds + \frac{\partial u}{\partial t}\,dt.
Aqui \displaystyle \frac{\partial u}{\partial s} é a derivada parcial de u em relação a s (tratando t como constante) e \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} é a derivada parcial de u em relação a t (tratando s como constante). Essas derivadas multiplicam os incrementos infinitesimais ds e dt.

Passo 3

Para facilitar a derivação, defino a função interna
g(s,t)=s^{2}-t^{2},
assim \displaystyle u(s,t)=e^{g(s,t)}. Vou usar a regra da cadeia para derivadas parciais: a derivada parcial de e^{g} em relação a uma variável é e^{g} vezes a derivada parcial de g nessa variável.

Passo 4

Calculo a derivada parcial de u em relação a s. Primeiro a derivada parcial de g em relação a s é
\frac{\partial g}{\partial s}=2s.
Pela regra da cadeia:
\frac{\partial u}{\partial s}=e^{g(s,t)}\cdot\frac{\partial g}{\partial s}=e^{s^{2}-t^{2}}\cdot 2s.
Portanto
\frac{\partial u}{\partial s}=2s\,e^{s^{2}-t^{2}}.

Passo 5

Agora calculo a derivada parcial de u em relação a t. A derivada parcial de g em relação a t é
\frac{\partial g}{\partial t}=-2t.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial u}{\partial t}=e^{g(s,t)}\cdot\frac{\partial g}{\partial t}=e^{s^{2}-t^{2}}\cdot(-2t).
Logo
\frac{\partial u}{\partial t}=-2t\,e^{s^{2}-t^{2}}.

Passo 6

Substituo as derivadas parciais na fórmula da diferencial do Passo 2:
du = \frac{\partial u}{\partial s}\,ds + \frac{\partial u}{\partial t}\,dt = 2s\,e^{s^{2}-t^{2}}\,ds + (-2t)\,e^{s^{2}-t^{2}}\,dt.
Posso fatorar o fator comum e^{s^{2}-t^{2}} para deixar a expressão mais compacta:
du = e^{s^{2}-t^{2}}\bigl(2s\,ds - 2t\,dt\bigr).
Isto é a diferencial procurada: dá a variação linear aproximada de u quando s e t têm incrementos ds e dt.

Resposta

du = 2s\,e^{s^{2}-t^{2}}\,ds - 2t\,e^{s^{2}-t^{2}}\,dt

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