Determine a diferencial de cada função a seguir.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a diferencial da função
.
Informações dadas: a função é real, depende de duas variáveis e
, e está escrita como uma exponencial com expoente
.
O que se precisa entregar: a expressão da diferencial em termos de
e
.
Informações dadas: a função é real, depende de duas variáveis
O que se precisa entregar: a expressão da diferencial
Passo 2
Lembrete do que é a diferencial para funções de duas variáveis. Se
é uma função diferenciável, a diferencial
é a aproximação linear das variações de
quando
e
variam um pouco; a fórmula é
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante). Essas derivadas multiplicam os incrementos infinitesimais
e
.
Passo 3
Para facilitar a derivação, defino a função interna
assim
. Vou usar a regra da cadeia para derivadas parciais: a derivada parcial de
em relação a uma variável é
vezes a derivada parcial de
nessa variável.
Passo 4
Calculo a derivada parcial de
em relação a
. Primeiro a derivada parcial de
em relação a
é
Pela regra da cadeia:
Portanto
Passo 5
Agora calculo a derivada parcial de
em relação a
. A derivada parcial de
em relação a
é
Aplicando a regra da cadeia:
Logo
Passo 6
Substituo as derivadas parciais na fórmula da diferencial do Passo 2:
Posso fatorar o fator comum
para deixar a expressão mais compacta:
Isto é a diferencial procurada: dá a variação linear aproximada de
quando
e
têm incrementos
e
.