Determine o domínio da função f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função \,f(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}\,.
Informações/dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
  • A função é de duas variáveis reais: (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • No numerador há o número \,1.
  • No denominador há a raiz quadrada \,\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}\,.
  • O que se pede é o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão é bem definida (ou seja, onde não ocorre divisão por zero nem raiz de número negativo).

Passo 2

Entendendo as restrições que a expressão impõe (aulas rápidas):
  • Para que \sqrt{u} esteja definida nos reais, é necessário que \,u\ge 0. Aqui u=4-x^{2}-y^{2}. Então uma condição inicial seria
4-x^{2}-y^{2}\ge 0.
  • Mas além disso, esse resultado aparece no denominador. Divisão por zero não é permitida. Se \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}=0 a função não estaria definida. Portanto precisamos excluir os pontos em que o radicando é zero. Assim a condição que realmente vale é
4-x^{2}-y^{2}>0.

Passo 3

Agora vamos manipular a desigualdade para uma forma mais clara:
Partindo de
4-x^{2}-y^{2}>0,
somamos x^{2}+y^{2} em ambos os lados para isolar o quadrado:
x^{2}+y^{2}<4.
Essa é a forma algébrica simples da condição sobre (x,y).

Passo 4

Interpretação geométrica (aquela imagem mental que ajuda muito na prova):
A desigualdade \,x^{2}+y^{2}<4\, descreve todos os pontos do plano cuja distância ao ponto (0,0) é menor que \,2. Em linguagem geométrica isso é o disco aberto de centro na origem e raio \,2.
Observações importantes:
  • Pontos com x^{2}+y^{2}=4 (a circunferência de raio \,2) são excluídos porque ali o denominador seria zero.
  • Pontos com x^{2}+y^{2}>4 ficam fora porque ali o radicando é negativo e a raiz real não existe.

Passo 5

Alguns exemplos rápidos para fixar (úteis na hora da prova):
  • O ponto (0,0) satisfaz 0^{2}+0^{2}=0<4, então está no domínio. De fato f(0,0)=1/2.
  • O ponto (2,0) tem 2^{2}+0^{2}=4, fica na fronteira e é excluído (denominador zero).
  • O ponto (3,0) tem 9>4, radicando negativo, também é excluído.

Passo 6

Escrevendo o domínio em notação de conjunto, de forma precisa e pronta para a prova:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}<4\}.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}<4\}

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