Determine o domínio da função
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
.
Informações/dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
Informações/dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
- A função é de duas variáveis reais:
. - No numerador há o número
. - No denominador há a raiz quadrada
. - O que se pede é o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão é bem definida (ou seja, onde não ocorre divisão por zero nem raiz de número negativo).
Passo 2
Entendendo as restrições que a expressão impõe (aulas rápidas):
- Para que
esteja definida nos reais, é necessário que . Aqui . Então uma condição inicial seria
- Mas além disso, esse resultado aparece no denominador. Divisão por zero não é permitida. Se
a função não estaria definida. Portanto precisamos excluir os pontos em que o radicando é zero. Assim a condição que realmente vale é
Passo 3
Agora vamos manipular a desigualdade para uma forma mais clara:
Partindo de
Partindo de
somamos
em ambos os lados para isolar o quadrado:
Essa é a forma algébrica simples da condição sobre
.
Passo 4
Interpretação geométrica (aquela imagem mental que ajuda muito na prova):
A desigualdade descreve todos os pontos do plano cuja distância ao ponto
é menor que
. Em linguagem geométrica isso é o disco aberto de centro na origem e raio
.
Observações importantes:
A desigualdade
Observações importantes:
- Pontos com
(a circunferência de raio ) são excluídos porque ali o denominador seria zero. - Pontos com
ficam fora porque ali o radicando é negativo e a raiz real não existe.
Passo 5
Alguns exemplos rápidos para fixar (úteis na hora da prova):
- O ponto
satisfaz , então está no domínio. De fato . - O ponto
tem , fica na fronteira e é excluído (denominador zero). - O ponto
tem , radicando negativo, também é excluído.
Passo 6
Escrevendo o domínio em notação de conjunto, de forma precisa e pronta para a prova: