Determine a equação cartesiana da elipse:
\mathcal{E}:\left\{\begin{array}{l} x=1+\cos t \\\ y=2 \operatorname{sen} t \end{array}, t \in \mathbb{R}\right.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • Temos as equações paramétricas
x=1+\cos t
y=2\operatorname{sen} t
com t\in\mathbb{R}.
  • O que se pede: encontrar a equação cartesiana da curva — isto é, uma relação entre x e y que elimina o parâmetro t.
Observação sobre as incógnitas:
  • t é o parâmetro (um número real).
  • x e y são as coordenadas do ponto na reta do plano obtidas a partir de t.

Passo 2

Ideia básica (fórmula trigonométrica fundamental que vamos usar) — pequeno lembrete teórico:
  • Para qualquer ângulo t vale a identidade trigonométrica
\cos^2 t+\operatorname{sen}^2 t=1.
Isso é verdade para todo t e é o ponto chave para eliminar o parâmetro quando as coordenadas vêm de seno e cosseno.

Passo 3

Expressar \cos t e \operatorname{sen} t a partir das equações paramétricas (peguei estas expressões do enunciado):
  • Da expressão de x temos
\cos t = x-1.
  • Da expressão de y temos
\operatorname{sen} t = \frac{y}{2}.
Aqui só isolamos as funções trigonométricas em função de x e y.

Passo 4

Substituir na identidade trigonométrica e simplificar:
  • Substituindo \cos t=x-1 e \operatorname{sen} t=\dfrac{y}{2} em \cos^2 t+\operatorname{sen}^2 t=1 obtemos
(x-1)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 1.
  • Escrevendo de forma um pouco mais clara:
(x-1)^2 + \frac{y^2}{4} = 1.

Passo 5

Colocar na forma padrão da elipse e interpretar (pequena aula prática):
  • A forma padrão de uma elipse centrada em (h,k) com semi-eixos a (horizontal) e b (vertical) é
\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.
  • Comparando com (x-1)^2+\dfrac{y^2}{4}=1 vemos que
\frac{(x-1)^2}{1}+\frac{y^2}{4}=1,
ou seja h=1, k=0, a^2=1 (portanto a=1) e b^2=4 (portanto b=2).
  • Interpretação geométrica rápida: é uma elipse centrada em (1,0), com semi-eixo horizontal de comprimento 1 e semi-eixo vertical de comprimento 2. O parâmetro t percorre toda a elipse quando varia em \mathbb{R}. Exemplos de pontos (verificação rápida): para t=0 temos (2,0), para t=\tfrac{\pi}{2} temos (1,2), para t=\pi temos (0,0), etc.

Resposta

(x-1)^2+\frac{y^2}{4}=1

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