Determine a equação cartesiana da elipse:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
- Temos as equações paramétricas
com
.
- O que se pede: encontrar a equação cartesiana da curva — isto é, uma relação entre
e que elimina o parâmetro .
Observação sobre as incógnitas:
-
é o parâmetro (um número real). -
e são as coordenadas do ponto na reta do plano obtidas a partir de .
Passo 2
Ideia básica (fórmula trigonométrica fundamental que vamos usar) — pequeno lembrete teórico:
- Para qualquer ângulo
vale a identidade trigonométrica
Isso é verdade para todo
e é o ponto chave para eliminar o parâmetro quando as coordenadas vêm de seno e cosseno.
Passo 3
Expressar
e
a partir das equações paramétricas (peguei estas expressões do enunciado):
- Da expressão de
temos
- Da expressão de
temos
Aqui só isolamos as funções trigonométricas em função de
e
.
Passo 4
Substituir na identidade trigonométrica e simplificar:
- Substituindo
e em obtemos
- Escrevendo de forma um pouco mais clara:
Passo 5
Colocar na forma padrão da elipse e interpretar (pequena aula prática):
- A forma padrão de uma elipse centrada em
com semi-eixos (horizontal) e (vertical) é
- Comparando com
vemos que
ou seja
,
,
(portanto
) e
(portanto
).
- Interpretação geométrica rápida: é uma elipse centrada em
, com semi-eixo horizontal de comprimento e semi-eixo vertical de comprimento . O parâmetro percorre toda a elipse quando varia em . Exemplos de pontos (verificação rápida): para temos , para temos , para temos , etc.