Determine a equação cartesiana da hipérbole:
\mathcal{H}:\left\{\begin{array}{l} x=2+\tan t \\\ y=3+3 \operatorname{sec} t \end{array}, t \in \mathbb{R}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva paramétrica e pede a sua equação cartesiana. As informações fornecidas são:
  • As equações paramétricas:
x = 2 + \tan t
y = 3 + 3\operatorname{sec} t
  • O parâmetro varia em t\in\mathbb{R}.
    O que se pede: determinar a equação cartesiana (uma relação entre x e y que elimina o parâmetro t).

Passo 2

Isolar as funções trigonométricas em termos de x e y. A partir de x=2+\tan t obtemos
\tan t = x-2.
A partir de y=3+3\operatorname{sec} t obtemos
\operatorname{sec} t = \frac{y-3}{3}.
Esses passos são apenas rearranjos algébricos: subtrai-se o termo constante de cada equação e divide-se quando há fator multiplicativo.

Passo 3

Usar uma identidade trigonométrica que relaciona \tan e \operatorname{sec}. Começando da identidade básica \sin^2 t+\cos^2 t=1, divide-se ambos os lados por \cos^2 t (quando \cos t\neq0) para obter:
\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} + \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} = \frac{1}{\cos^2 t}.
Isso é
\tan^2 t + 1 = \operatorname{sec}^2 t,
ou, de forma equivalente,
\operatorname{sec}^2 t - \tan^2 t = 1.
Essa identidade é a que vai permitir eliminar o parâmetro t.

Passo 4

Substituir as expressões de \tan t e \operatorname{sec} t obtidas no Passo 2 na identidade do Passo 3:
\left(\frac{y-3}{3}\right)^2 - (x-2)^2 = 1.
Aqui foi feito: \operatorname{sec}^2 t foi substituído por \left(\dfrac{y-3}{3}\right)^2 e \tan^2 t por (x-2)^2, e então aplicou-se a identidade \operatorname{sec}^2 t - \tan^2 t = 1.

Passo 5

Colocar a equação numa forma padrão reconhecível de hipérbole. A expressão do Passo 4 pode ser reescrita como
\frac{(y-3)^2}{9} - (x-2)^2 = 1.
Ou, explicitando o denominador do segundo termo,
\frac{(y-3)^2}{9} - \frac{(x-2)^2}{1} = 1.
Dessa forma reconhece-se uma hipérbole com centro em (2,3), com a^2=9 (logo a=3) e b^2=1 (logo b=1). Como o termo positivo é o que envolve (y-3)^2, a hipérbole tem eixo transverso vertical. As assíntotas são dadas por
y-3 = \pm \frac{a}{b}(x-2) \quad\Rightarrow\quad y-3 = \pm 3(x-2).

Passo 6

Verificação rápida com um valor de parâmetro: para t=0 tem-se x=2+\tan 0=2 e y=3+3\operatorname{sec} 0=6. Substituindo na equação
\frac{(6-3)^2}{9} - (2-2)^2 = \frac{9}{9} - 0 = 1,
confirma-se que o ponto está na curva, o que é consistente.

Resposta

\frac{(y-3)^2}{9} - (x-2)^2 = 1

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