Determine a equação cartesiana da hipérbole:
Passo 1
O enunciado nos dá uma curva paramétrica e pede a sua equação cartesiana. As informações fornecidas são:
- As equações paramétricas:
- O parâmetro varia em
.
O que se pede: determinar a equação cartesiana (uma relação entree que elimina o parâmetro ).
Passo 2
Isolar as funções trigonométricas em termos de
e
. A partir de
obtemos
A partir de
obtemos
Esses passos são apenas rearranjos algébricos: subtrai-se o termo constante de cada equação e divide-se quando há fator multiplicativo.
Passo 3
Usar uma identidade trigonométrica que relaciona
e
. Começando da identidade básica
, divide-se ambos os lados por
(quando
) para obter:
Isso é
ou, de forma equivalente,
Essa identidade é a que vai permitir eliminar o parâmetro
.
Passo 4
Substituir as expressões de
e
obtidas no Passo 2 na identidade do Passo 3:
Aqui foi feito:
foi substituído por
e
por
, e então aplicou-se a identidade
.
Passo 5
Colocar a equação numa forma padrão reconhecível de hipérbole. A expressão do Passo 4 pode ser reescrita como
Ou, explicitando o denominador do segundo termo,
Dessa forma reconhece-se uma hipérbole com centro em
, com
(logo
) e
(logo
). Como o termo positivo é o que envolve
, a hipérbole tem eixo transverso vertical. As assíntotas são dadas por
Passo 6
Verificação rápida com um valor de parâmetro: para
tem-se
e
. Substituindo na equação
confirma-se que o ponto está na curva, o que é consistente.