Determine a equação geral do plano que contém a reta
e o ponto
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
Passo 1
O enunciado dá uma reta
e um ponto
. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que se pede.
- A reta
está dada por . - Um ponto pertencente a
(chamo de ) é . - O vetor diretor da reta (chamo de
) é .
- Um ponto pertencente a
- O ponto dado é
.
O que o enunciado pede: determinar a equação geral do plano que contém a reta
e o ponto
, escolhendo a opção correta entre as alternativas dadas.
Passo 2
Escolha do método (e por que ele funciona).
Se um plano contém uma reta e um ponto
que não está na reta, então o plano é gerado pelo vetor diretor da reta e pelo vetor que liga um ponto da reta até
. Esses dois vetores são vetores diretores do plano; o produto vetorial entre eles produz um vetor normal ao plano. Com o vetor normal
e um ponto do plano podemos formar a equação geral do plano
.
Se um plano contém uma reta
Vou usar esse método porque é direto, envolve só operações vetoriais básicas (subtração de vetores e produto vetorial) e leva rapidamente à equação do plano.
Passo 3
Verificar se
pertence ou não à reta
(caso especial). Se
estivesse em
o plano não seria determinado apenas por um vetor adicional (seria preciso outro dado), mas aqui precisamos confirmar se é um caso comum.
Tentar achar
tal que
Da primeira coordenada:
Com
, a segunda coordenada da reta dá
, mas
tem
. Logo
NÃO pertence à reta
. Portanto o método com produto vetorial é aplicável.
Passo 4
Construir os vetores que ficam no plano.
- Vetor diretor da reta:
- Vetor que liga
a (peguei da expressão da reta):
Ambos
e
pertencem ao plano.
Passo 5
Calcular o vetor normal
do plano como o produto vetorial
.
Lembrete (fórmula do produto vetorial): se
e
, então
Aplicando com
e
:
Portanto
Podemos simplificar dividindo por
(qualquer múltiplo escalar do normal dá o mesmo plano), obtendo o normal reduzido
Aqui
significa que, para qualquer ponto
no plano, vale
.]
Passo 6
Obter a constante da equação do plano usando um ponto conhecido do plano (uso
, ponto da reta, que foi dado). Se
e
, então a equação em forma escalar fica
.
Calcular
com
e
:
Como verificação adicional, calcular
com
:
A igualdade confirma que tanto
quanto
satisfazem a mesma equação linear com esse
, então a equação geral do plano tem a forma
Resposta
(a)