Determine a equação geral do plano que contém a reta r: X=(-1,4,13)+\lambda(-4,-1,1) e o ponto P=(-1,-2,3)
Escolha uma opção:
◯ a. 2 x-5 y+3 z-17=0
◯ b. -x-10 y+6 z-39=0
◯ c. x-10 y+6 z-37=0
◯ d. -2 x-5 y+3 z-21=0

Passo 1

O enunciado dá uma reta r e um ponto P. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que se pede.
  • A reta r está dada por X = (-1,4,13) + \lambda(-4,-1,1).
    • Um ponto pertencente a r (chamo de A) é A = (-1,4,13).
    • O vetor diretor da reta (chamo de \vec{v}) é \vec{v}=(-4,-1,1).
  • O ponto dado é P = (-1,-2,3).
O que o enunciado pede: determinar a equação geral do plano que contém a reta r e o ponto P, escolhendo a opção correta entre as alternativas dadas.

Passo 2

Escolha do método (e por que ele funciona).
Se um plano contém uma reta r e um ponto P que não está na reta, então o plano é gerado pelo vetor diretor da reta e pelo vetor que liga um ponto da reta até P. Esses dois vetores são vetores diretores do plano; o produto vetorial entre eles produz um vetor normal ao plano. Com o vetor normal \vec{n}=(a,b,c) e um ponto do plano podemos formar a equação geral do plano a x + b y + c z + d = 0.
Vou usar esse método porque é direto, envolve só operações vetoriais básicas (subtração de vetores e produto vetorial) e leva rapidamente à equação do plano.

Passo 3

Verificar se P pertence ou não à reta r (caso especial). Se P estivesse em r o plano não seria determinado apenas por um vetor adicional (seria preciso outro dado), mas aqui precisamos confirmar se é um caso comum.
Tentar achar \lambda tal que
(-1,-2,3)=(-1,4,13)+\lambda(-4,-1,1).
Da primeira coordenada:
-1 = -1 + \lambda(-4)\quad\Rightarrow\quad 0 = -4\lambda\quad\Rightarrow\quad \lambda = 0.
Com \lambda=0, a segunda coordenada da reta dá y=4, mas P tem y=-2. Logo P NÃO pertence à reta r. Portanto o método com produto vetorial é aplicável.

Passo 4

Construir os vetores que ficam no plano.
  • Vetor diretor da reta: \vec{v}=(-4,-1,1).
  • Vetor que liga A a P (peguei A=(-1,4,13) da expressão da reta): \vec{AP}=P-A = (-1-(-1),\,-2-4,\,3-13) = (0,-6,-10).
Ambos \vec{v} e \vec{AP} pertencem ao plano.

Passo 5

Calcular o vetor normal \vec{n} do plano como o produto vetorial \vec{n}=\vec{v}\times\vec{AP}.
Lembrete (fórmula do produto vetorial): se \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) e \vec{u}=(u_1,u_2,u_3), então
\vec{v}\times\vec{u}=\big(v_2u_3-v_3u_2,\; v_3u_1-v_1u_3,\; v_1u_2-v_2u_1\big).
Aplicando com \vec{v}=(-4,-1,1) e \vec{AP}=(0,-6,-10):
\begin{aligned} n_x &= v_2\cdot u_3 - v_3\cdot u_2 = (-1)\cdot(-10) - 1\cdot(-6) = 10 + 6 = 16,\\[4pt] n_y &= v_3\cdot u_1 - v_1\cdot u_3 = 1\cdot 0 - (-4)\cdot(-10) = 0 - 40 = -40,\\[4pt] n_z &= v_1\cdot u_2 - v_2\cdot u_1 = (-4)\cdot(-6) - (-1)\cdot 0 = 24 - 0 = 24. \end{aligned}
Portanto
\vec{n}=(16,-40,24).
Podemos simplificar dividindo por 8 (qualquer múltiplo escalar do normal dá o mesmo plano), obtendo o normal reduzido
\vec{n}=(2,-5,3).
Aqui \vec{n}=(2,-5,3) significa que, para qualquer ponto X=(x,y,z) no plano, vale \vec{n}\cdot(X-A)=0.]

Passo 6

Obter a constante da equação do plano usando um ponto conhecido do plano (uso A, ponto da reta, que foi dado). Se \vec{n}=(a,b,c) e A=(x_0,y_0,z_0), então a equação em forma escalar fica a x + b y + c z = a x_0 + b y_0 + c z_0.
Calcular \vec{n}\cdot A com \vec{n}=(2,-5,3) e A=(-1,4,13):
\vec{n}\cdot A = 2\cdot(-1) + (-5)\cdot 4 + 3\cdot 13 = -2 -20 +39 = 17.
Como verificação adicional, calcular \vec{n}\cdot P com P=(-1,-2,3):
\vec{n}\cdot P = 2\cdot(-1) + (-5)\cdot(-2) + 3\cdot 3 = -2 +10 +9 = 17.
A igualdade confirma que tanto A quanto P satisfazem a mesma equação linear com esse \vec{n}, então a equação geral do plano tem a forma
2x - 5y + 3z = 17.

Resposta

(a)

Exercícios relacionados