Determine se as equações abaixo formam um sistema linear.
e^{x}+y=1, z-2 x=0

Passo 1

O enunciado nos dá as duas equações
e^{x}+y=1, \qquad z-2x=0,
e pede para determinar se elas formam um sistema linear.

Passo 2

Definição (explicada com calma): uma equação é linear nas variáveis x_1,\dots,x_n se pode ser escrita na forma
a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b,
onde a_1,\dots,a_n,b são números (constantes) e cada variável aparece apenas multiplicada por uma constante (ou seja, com expoente 1), sem produtos entre variáveis, sem potências diferentes de 1, sem funções não lineares (como exponenciais, logaritmos, senos, etc.). Exemplos:
  • Linear: \;3x - 5y + 2z = 7\; (tudo são coeficientes constantes multiplicando as variáveis).
  • Não linear: \;x^2 + y = 1\; (porque x^2 tem potência 2), ou \;e^{x}+y=1\; (porque e^{x} é uma função exponencial de x, não do tipo constante vez x).

Passo 3

Analisando a primeira equação \;e^{x}+y=1\;:
  • O termo \;e^{x}\; depende de x de forma exponencial. Não pode ser escrito como um coeficiente constante multiplicando x (isto é, não existe constante a tal que e^{x}=a x para todos os x). Portanto \;e^{x}+y=1\; não é uma equação linear nas variáveis \;x,y,z\;.

Passo 4

Analisando a segunda equação \;z-2x=0\;:
  • Aqui as variáveis x e z aparecem apenas com expoente 1 e multiplicadas por constantes ( -2 para x e 1 para z). Logo \;z-2x=0\; é uma equação linear.

Passo 5

Conclusão e regra prática para a prova: para um sistema ser linear, todas as equações do sistema devem ser lineares. Basta uma equação não linear para que o sistema inteiro deixe de ser linear. Assim, embora a segunda equação seja linear, a presença de \;e^{x}\; na primeira equação torna o sistema não linear. Na prova, ao identificar termos como e^{x}, x^2, xy, \sin x etc., pode-se imediatamente marcar a equação como não linear.

Resposta

Não — o sistema não é linear, pois a primeira equação contém o termo \;e^{x}\;, que é não linear.

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