Determine se as equações abaixo formam um sistema linear.
Passo 1
O enunciado nos dá as duas equações
e pede para determinar se elas formam um sistema linear.
Passo 2
Definição (explicada com calma): uma equação é linear nas variáveis
se pode ser escrita na forma
onde
são números (constantes) e cada variável aparece apenas multiplicada por uma constante (ou seja, com expoente
), sem produtos entre variáveis, sem potências diferentes de
, sem funções não lineares (como exponenciais, logaritmos, senos, etc.). Exemplos:
- Linear:
(tudo são coeficientes constantes multiplicando as variáveis). - Não linear:
(porque tem potência 2), ou (porque é uma função exponencial de , não do tipo constante vez ).
Passo 3
Analisando a primeira equação
:
- O termo
depende de de forma exponencial. Não pode ser escrito como um coeficiente constante multiplicando (isto é, não existe constante tal que para todos os ). Portanto não é uma equação linear nas variáveis .
Passo 4
Analisando a segunda equação
:
- Aqui as variáveis
e aparecem apenas com expoente e multiplicadas por constantes ( para e para ). Logo é uma equação linear.
Passo 5
Conclusão e regra prática para a prova: para um sistema ser linear, todas as equações do sistema devem ser lineares. Basta uma equação não linear para que o sistema inteiro deixe de ser linear. Assim, embora a segunda equação seja linear, a presença de
na primeira equação torna o sistema não linear. Na prova, ao identificar termos como
,
,
,
etc., pode-se imediatamente marcar a equação como não linear.
Resposta
Não — o sistema não é linear, pois a primeira equação contém o termo
, que é não linear.