Determine se as equações abaixo formam um sistema linear.
x+2 y=3,3 x-y+4 z=2, z=5
Passo 1
O enunciado dá três equações envolvendo as incógnitas x, y e z:
x+2y=3, \qquad 3x-y+4z=2, \qquad z=5.
O que é pedido: determinar se essas equações formam um sistema linear (ou seja, se cada uma é uma equação linear nas incógnitas).
Passo 2
Definição e critério prático. Uma equação linear nas incógnitas x, y, z tem a forma
a_1 x + a_2 y + a_3 z = b,
onde a_1,a_2,a_3 e b são constantes (podem ser zeros). Explicando devagar:
Cada incógnita aparece apenas multiplicada por uma constante (coeficiente) — isto é, na potência 1.
Não pode haver produtos entre incógnitas (como xy), potências (como x^2), nem funções não-lineares (como \sin x, e^x, etc.).
Exemplos para fixar:
Linear: \;2x-3y+0z=5\; (coeficientes 2,-3,0).
Não linear: \;x^2+y=1\; (porque tem x^2) e \;xy+z=0\; (porque há produto xy).
Passo 3
Analisar a primeira equação. Reescrevendo com todos os termos:
1\cdot x + 2\cdot y + 0\cdot z = 3.
Aqui os coeficientes são a_1=1, a_2=2, a_3=0 e o termo independente é b=3. Cada incógnita aparece apenas à primeira potência e multiplicada por uma constante: portanto a primeira equação é linear.
Passo 4
Analisar a segunda equação. Escrevendo explicitamente:
3\cdot x + (-1)\cdot y + 4\cdot z = 2.
Os coeficientes são a_1=3, a_2=-1, a_3=4 e b=2. Novamente cada incógnita aparece na forma coeficiente vezes incógnita (grau 1), então a segunda equação é linear.
Passo 5
Analisar a terceira equação. Reescrevendo com todos os termos:
0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z = 5,
ou simplesmente \;z=5\;. Isso é uma equação linear (coeficientes 0,0,1 e termo independente 5). É perfeitamente válida como uma linha de um sistema linear.
Passo 6
Conclusão lógica. Todas as três equações são da forma a_1 x + a_2 y + a_3 z = b com coeficientes constantes e sem termos não-lineares. Portanto as três juntas formam um sistema linear. Para ver a forma matricial (útil na prova), pode-se escrever: