Determine se as equações abaixo formam um sistema linear.
x+2 y=3,3 x-y+4 z=2, z=5

Passo 1

O enunciado dá três equações envolvendo as incógnitas x, y e z:
x+2y=3, \qquad 3x-y+4z=2, \qquad z=5.
O que é pedido: determinar se essas equações formam um sistema linear (ou seja, se cada uma é uma equação linear nas incógnitas).

Passo 2

Definição e critério prático. Uma equação linear nas incógnitas x, y, z tem a forma
a_1 x + a_2 y + a_3 z = b,
onde a_1,a_2,a_3 e b são constantes (podem ser zeros). Explicando devagar:
  • Cada incógnita aparece apenas multiplicada por uma constante (coeficiente) — isto é, na potência 1.
  • Não pode haver produtos entre incógnitas (como xy), potências (como x^2), nem funções não-lineares (como \sin x, e^x, etc.).
    Exemplos para fixar:
  • Linear: \;2x-3y+0z=5\; (coeficientes 2,-3,0).
  • Não linear: \;x^2+y=1\; (porque tem x^2) e \;xy+z=0\; (porque há produto xy).

Passo 3

Analisar a primeira equação. Reescrevendo com todos os termos:
1\cdot x + 2\cdot y + 0\cdot z = 3.
Aqui os coeficientes são a_1=1, a_2=2, a_3=0 e o termo independente é b=3. Cada incógnita aparece apenas à primeira potência e multiplicada por uma constante: portanto a primeira equação é linear.

Passo 4

Analisar a segunda equação. Escrevendo explicitamente:
3\cdot x + (-1)\cdot y + 4\cdot z = 2.
Os coeficientes são a_1=3, a_2=-1, a_3=4 e b=2. Novamente cada incógnita aparece na forma coeficiente vezes incógnita (grau 1), então a segunda equação é linear.

Passo 5

Analisar a terceira equação. Reescrevendo com todos os termos:
0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z = 5,
ou simplesmente \;z=5\;. Isso é uma equação linear (coeficientes 0,0,1 e termo independente 5). É perfeitamente válida como uma linha de um sistema linear.

Passo 6

Conclusão lógica. Todas as três equações são da forma a_1 x + a_2 y + a_3 z = b com coeficientes constantes e sem termos não-lineares. Portanto as três juntas formam um sistema linear. Para ver a forma matricial (útil na prova), pode-se escrever:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\[4pt] y\\[4pt] z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\[4pt] 2\\[4pt] 5 \end{pmatrix}.
Isso é exatamente um sistema linear \,A\mathbf{x}=\mathbf{b}\,.]

Passo 7

Bônus (ilustrativo): resolver rapidamente para ver como funciona na prática. Da terceira equação vem \;z=5\;. Substituindo na segunda:
3x-y+4\cdot 5=2 \quad\Rightarrow\quad 3x-y=-18.
Juntando com a primeira \;x+2y=3\;, resolve-se o sistema em x,y. Por substituição x=3-2y. Substituindo:
3(3-2y)-y=-18 \quad\Rightarrow\quad 9-6y-y=-18 \quad\Rightarrow\quad -7y=-27 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{27}{7}.
Então x=3-2\cdot\frac{27}{7}=\frac{-33}{7}. A solução completa é
x=-\frac{33}{7},\qquad y=\frac{27}{7},\qquad z=5,
o que confirma que o sistema linear é consistente e tem solução única.

Resposta

Sim — é um sistema linear.

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