Determine equações paramétricas para a hipérbole \mathcal{H}: \frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{2}=1, fazendo y=t (veja o Exemplo 12.2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar equações paramétricas da hipérbole \displaystyle \frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{2}=1 tomando y=t.
Informações dadas:
  • A curva é a hipérbole dada pela equação \displaystyle \frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{2}=1.
  • O parâmetro escolhido é t de modo que y=t.
    O objetivo concreto: escrever x e y como funções de t (equações paramétricas), indicar o domínio de t e explicar o que cada escolha de sinal para x representa.

Passo 2

Isolar x a partir da equação da hipérbole. Começo manipulando a equação original:
\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{2}=1.
Multiplico ambos os lados por 4 para eliminar denominadores:
y^{2}-2x^{2}=4.
Agora isolo x^{2}:
2x^{2}=y^{2}-4,
x^{2}=\frac{y^{2}-4}{2}=\frac{y^{2}}{2}-2.
Isto é a relação que liga x e y; a partir daqui, ao fixar y posso obter x.

Passo 3

Agora faço a substituição indicada pelo enunciado: y=t. Substituindo em x^{2}=\dfrac{y^{2}}{2}-2 obtemos
x^{2}=\frac{t^{2}}{2}-2.
Tomando raiz quadrada:
x=\pm\sqrt{\frac{t^{2}}{2}-2}.
É importante observar a condição para que a raiz seja real:
\frac{t^{2}}{2}-2\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad t^{2}\ge 4 \quad\Longleftrightarrow\quad |t|\ge 2.
Logo o parâmetro t não pode assumir valores com |t|<2: o domínio admissível é t\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty).

Passo 4

Interpretando o sinal \pm: a hipérbole tem duas componentes (ramos) laterais em x — uma com x\ge 0 (ramo direito) e outra com x\le 0 (ramo esquerdo). As parametrações com + e com - correspondem exatamente a esses dois ramos. O parâmetro t controla a coordenada vertical y; para cada t com |t|\ge 2 há dois pontos na hipérbole com essa mesma ordenada y=t, um com x positivo e outro com x negativo (exceto nos pontos onde x=0, se existissem — aqui x=0 não ocorre porque \frac{t^{2}}{2}-2=0 implica |t|=2 e então x=0 é possível naquele caso específico; vamos checar: se t=\pm 2 então x=0, ou seja os vértices superiores/inferiores estão incluídos).

Passo 5

Escrevendo explicitamente as equações paramétricas: para o ramo direito ( x\ge 0 ) escolhe-se o sinal +; para o ramo esquerdo ( x\le 0 ) escolhe-se o sinal -. Assim:
  • Ramo direito:
x=\sqrt{\frac{t^{2}}{2}-2},\qquad y=t,\qquad t\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty).
  • Ramo esquerdo:
x=-\sqrt{\frac{t^{2}}{2}-2},\qquad y=t,\qquad t\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty).
Observação didática: muitas vezes se prefere uma única parametrização suave usando funções hiperbólicas (porque \operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u=1 dá formas diretas). Por exemplo, uma parametrização alternativa que cobre o ramo direito é
x=\sqrt{2}\,\operatorname{sinh} u,\qquad y=2\operatorname{cosh} u,\qquad u\in\mathbb{R},
pois então \dfrac{y^{2}}{4}-\dfrac{x^{2}}{2}=\operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u=1. Para cobrir y<0 usa-se y=-2\operatorname{cosh} u com u\in\mathbb{R}. Mas essa é apenas uma alternativa — o enunciado pediu especificamente y=t, então a forma com raízes é a resposta solicitada.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para conferir que a fórmula funciona: pegue t=3 (que satisfaz |t|\ge 2). Então
x=\pm\sqrt{\frac{3^{2}}{2}-2}=\pm\sqrt{\frac{9}{2}-2}=\pm\sqrt{\frac{5}{2}}.
Verificando na equação da hipérbole:
\frac{t^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{2}=\frac{9}{4}-\frac{\tfrac{5}{2}}{2}=\frac{9}{4}-\frac{5}{4}=1,
ok! Funciona.

Resposta

x=\sqrt{\dfrac{t^{2}}{2}-2},\quad y=t,\quad t\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty)
x=-\sqrt{\dfrac{t^{2}}{2}-2},\quad y=t,\quad t\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty)

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