Determine equações paramétricas para a hipérbole
, fazendo
(veja o Exemplo 12.2).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar equações paramétricas da hipérbole
tomando
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A curva é a hipérbole dada pela equação
. - O parâmetro escolhido é
de modo que .
O objetivo concreto: escrevere como funções de (equações paramétricas), indicar o domínio de e explicar o que cada escolha de sinal para representa.
Passo 2
Isolar
a partir da equação da hipérbole. Começo manipulando a equação original:
Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Agora isolo
:
Isto é a relação que liga
e
; a partir daqui, ao fixar
posso obter
.
Passo 3
Agora faço a substituição indicada pelo enunciado:
. Substituindo em
obtemos
Tomando raiz quadrada:
É importante observar a condição para que a raiz seja real:
Logo o parâmetro
não pode assumir valores com
: o domínio admissível é
.
Passo 4
Interpretando o sinal
: a hipérbole tem duas componentes (ramos) laterais em
— uma com
(ramo direito) e outra com
(ramo esquerdo). As parametrações com
e com
correspondem exatamente a esses dois ramos. O parâmetro
controla a coordenada vertical
; para cada
com
há dois pontos na hipérbole com essa mesma ordenada
, um com
positivo e outro com
negativo (exceto nos pontos onde
, se existissem — aqui
não ocorre porque
implica
e então
é possível naquele caso específico; vamos checar: se
então
, ou seja os vértices superiores/inferiores estão incluídos).
Passo 5
Escrevendo explicitamente as equações paramétricas: para o ramo direito (
) escolhe-se o sinal
; para o ramo esquerdo (
) escolhe-se o sinal
. Assim:
- Ramo direito:
- Ramo esquerdo:
Observação didática: muitas vezes se prefere uma única parametrização suave usando funções hiperbólicas (porque
dá formas diretas). Por exemplo, uma parametrização alternativa que cobre o ramo direito é
pois então
. Para cobrir
usa-se
com
. Mas essa é apenas uma alternativa — o enunciado pediu especificamente
, então a forma com raízes é a resposta solicitada.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para conferir que a fórmula funciona: pegue
(que satisfaz
). Então
Verificando na equação da hipérbole:
ok! Funciona.