Determine equações paramétricas para a hipérbole
fazendo uma das variáveis igual ao parâmetro.
Passo 1
O enunciado pede para determinar equações paramétricas da hipérbole
dada por
fazendo uma das variáveis igual ao parâmetro.
Perguntas claras que vamos responder:
Perguntas claras que vamos responder:
- Dar uma parametrização com
como parâmetro (isto é, tomar e achar ). - Dar uma parametrização com
como parâmetro (isto é, tomar e achar ).
Informações relevantes do enunciado:
- A curva é a coleção de pontos
que satisfazem . - Como
, nenhum dos valores ou pode ser igual a . Logo o parâmetro não pode assumir valor .
Passo 2
Parametrização tomando
como parâmetro.
Escolhe-se um parâmetro e faz-se
Escolhe-se um parâmetro
Substituindo em
obtém-se
Portanto uma parametrização é a função vetor
com domínio
Explicação passo a passo do porquê isso funciona (para você entender e poder reproduzir na prova):
- Parametrizar significa escrever
e como funções de um único parâmetro , de modo que, ao substituir essas funções na equação da curva, a igualdade seja satisfeita para todo no domínio. - Aqui substituímos
por e resolvemos a equação para . Como não pode ser (senão seria ), o domínio é .
Exemplos numéricos rápidos para fixar: - Para
temos . - Para
temos . - Para
temos .
Passo 3
Propriedades úteis dessa parametrização (úteis na prova):
- Derivada e vetor tangente: calcular
para ver a direção do movimento na curva.
Isto significa que, para um
fixo, o vetor tangente é
. A inclinação da tangente (derivada
) é
- Consistência com derivação implícita: diferenciando
em relação a temos
Substituindo
e
obtém-se
, que é igual ao resultado acima — ótimo sinal de que a parametrização está correta.
- Ramos e orientação: para
obtemos a rama no primeiro quadrante ( ); para obtemos a rama no terceiro quadrante ( ). Ao aumentar (por exemplo de para para ) percorre-se a rama do eixo dos para o eixo dos (ou seja, move-se para a direita e para baixo no primeiro quadrante). - Comportamento assintótico: quando
tem-se , então a curva aproxima-se do eixo ; quando tem-se , aproximando-se do eixo . Assim os eixos coordenados são assíntotas da hipérbole .
Passo 4
Parametrização tomando
como parâmetro.
Agora escolhe-se um parâmetro (chamo aqui de ) e faço
Agora escolhe-se um parâmetro (chamo aqui de
Da equação
segue
Assim outra parametrização é
com domínio
Observações e comparação com a parametrização anterior:
- Esta é essencialmente a mesma curva, apenas com o papel de
e trocado no parâmetro. Para dá o mesmo ponto ; para dá etc. - A derivada é
e a inclinação da tangente é
o que coincide com a derivação implícita
ao substituir
,
:
.
Passo 5
Dica extra (opcional, mas útil para provas ou trabalhos): às vezes é conveniente usar uma parametrização que trate separadamente cada ramo com domínio
. Por exemplo, para a rama positiva (
) pode-se usar o parâmetro
pois
e
para todo
. Isso dá uma parametrização suave do ramo no primeiro quadrante. Para o ramo negativo pode-se multiplicar por
, por exemplo
.