Determine o estimador de máxima verossimilhança dos parâmetros nos seguintes casos:
Sejam X_{1}, \ldots, X_{n} uma aa proveniente de uma população com função densidade de probabilidade de uma distribuição normal com parâmetro \mu e \sigma^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o estimador de máxima verossimilhança (MLE) dos parâmetros de uma distribuição normal quando temos uma amostra X_{1},\ldots,X_{n} iid. Informações dadas e o que temos explicitamente:
\text{Dados: } X_{1},\ldots,X_{n}\\ \text{são amostras independentes e identicamente distribuídas (iid) de uma } \mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}).ãí
\text{Parâmetros a estimar: } \mu \quad\text{e}\quad \sigma^{2}.â
Nada mais foi pedido além de obter os estimadores de máxima verossimilhança para \mu e \sigma^{2}.

Passo 2

Vamos escrever a função densidade de probabilidade (pdf) de uma observação genérica X_i. A pdf da normal com média \mu e variância \sigma^{2} é
f_{X}(x;\mu,\sigma^{2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right).
Aqui \mu é a média (deslocamento) e \sigma^{2}>0 é a variância (medida de dispersão).
Como as observações são independentes, a função verossimilhança L(\mu,\sigma^{2}) — que é a função conjunta de densidade vista como função dos parâmetros — é o produto das densidades individuais:
L(\mu,\sigma^{2})=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\!\left(-\frac{(X_{i}-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right).

Passo 3

Para simplificar cálculos, passamos para o logaritmo da verossimilhança (log-verossimilhança). Tomar log é monótono (maximizar L é equivalente a maximizar seu log), e transforma produtos em somas, facilitando derivadas.
O log-verossimilhança \ell(\mu,\sigma^{2})=\log L(\mu,\sigma^{2}) fica:
\ell(\mu,\sigma^{2})=\log L(\mu,\sigma^{2})=-\frac{n}{2}\log(2\pi\sigma^{2})-\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}.
Explicando termos:
  • -\frac{n}{2}\log(2\pi\sigma^{2}) vem do produto dos fatores 1/\sqrt{2\pi\sigma^{2}};
  • -\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2} é a soma dos expoentes negativos.

Passo 4

Agora encontramos o estimador MLE de \mu diferenciando \ell em relação a \mu e igualando a zero. Primeiro calcule a derivada:
Derivando \ell em relação a \mu:
\frac{\partial \ell}{\partial \mu} = -\frac{1}{2\sigma^{2}}\cdot 2\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)\cdot(-1).
Aqui usamos a regra da cadeia: derivada de (X_{i}-\mu)^{2} em relação a \mu é 2(X_{i}-\mu)\cdot(-1).
Simplificando:
\frac{\partial \ell}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu).
Igualamos a zero para encontrar candidato a máximo:
\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)=0 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu=0.
Daí obtemos
\hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}.
Ou seja, o MLE para \mu é a média amostral. Cada símbolo:
  • \hat{\mu} é o estimador de máxima verossimilhança para \mu;
  • \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} é a média aritmética da amostra.

Passo 5

Verificação que é máximo (curvatura): a segunda derivada de \ell em relação a \mu é
\frac{\partial^{2}\ell}{\partial \mu^{2}} = -\frac{n}{\sigma^{2}}.
Como \sigma^{2}>0, a segunda derivada é negativa, o que indica que a solução encontrada é de fato um máximo local (e aqui é máximo global para esse problema).

Passo 6

Agora encontramos o MLE para \sigma^{2}. É mais simples derivar \ell em relação a \sigma^{2} (em vez de \sigma). Calcule a derivada:
Começando de
\ell(\mu,\sigma^{2})=-\frac{n}{2}\log(2\pi\sigma^{2})-\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2},
derivamos em relação a \sigma^{2}:
\frac{\partial \ell}{\partial \sigma^{2}} = -\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{\sigma^{2}} + \frac{1}{2(\sigma^{2})^{2}}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}.
Explicando: derivada de -\frac{n}{2}\log\sigma^{2} é -\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{\sigma^{2}}, e derivada de -\frac{1}{2\sigma^{2}}S (com S=\sum_{i}(X_{i}-\mu)^{2}) é +\frac{1}{2(\sigma^{2})^{2}}S.
Igualando a zero:
-\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{\sigma^{2}} + \frac{1}{2(\sigma^{2})^{2}}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2} = 0.
Multiplicando ambos os lados por 2(\sigma^{2})^{2} para simplificar:
-n\sigma^{2} + \sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2} = 0.
Daí
\hat{\sigma}^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}.
Mas atenção: ao encontrar o MLE em conjunto, devemos usar \mu=\hat{\mu} (o MLE para \mu) no termo da soma. Portanto o estimador final (prático) é
\hat{\sigma}^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bigl(X_{i}-\hat{\mu}\bigr)^{2}.

Passo 7

Verificação de máximo em relação a \sigma^{2}: a segunda derivada é
\frac{\partial^{2}\ell}{\partial(\sigma^{2})^{2}} = \frac{n}{2(\sigma^{2})^{2}} - \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}}{(\sigma^{2})^{3}}.
Avaliada na solução \sigma^{2}=\hat{\sigma}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i}(X_{i}-\hat{\mu})^{2} a curvatura é negativa (pode ser mostrado substituindo), o que confirma que é máximo local. Em problemas padrão de normal é o máximo global.

Passo 8

Comentários didáticos e observações úteis para a prova:
  • Resumo prático: o MLE de \mu é a média amostral; o MLE de \sigma^{2} é a média dos quadrados dos desvios em torno da média amostral (com denominador n).
  • Importante: o estimador \hat{\sigma}^{2}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\hat{\mu})^{2} é o MLE, mas é viesado: \mathbb{E}[\hat{\sigma}^{2}]=\dfrac{n-1}{n}\sigma^{2}. Por isso, para estimativa não viesada da variância usa-se o estimador com denominador n-1
S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\hat{\mu})^{2}.
  • Em prova: descreva rapidamente a função verossimilhança, passe para o log, derive em relação aos parâmetros, iguale a zero, resolva e verifique o sinal da segunda derivada — esse roteiro vale muitos pontos.

Resposta

\displaystyle \hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\n \displaystyle \hat{\sigma}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bigl(X_{i}-\hat{\mu}\bigr)^{2}

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