Determine o estimador de máxima verossimilhança dos parâmetros nos seguintes casos:
Sejam
uma aa proveniente de uma população com função densidade de probabilidade de uma distribuição normal com parâmetro
e
.
Sejam
Passo 1
O enunciado pede: determinar o estimador de máxima verossimilhança (MLE) dos parâmetros de uma distribuição normal quando temos uma amostra
iid. Informações dadas e o que temos explicitamente:
Nada mais foi pedido além de obter os estimadores de máxima verossimilhança para
e
.
Passo 2
Vamos escrever a função densidade de probabilidade (pdf) de uma observação genérica
. A pdf da normal com média
e variância
é
Aqui
é a média (deslocamento) e
é a variância (medida de dispersão).
Como as observações são independentes, a função verossimilhança
— que é a função conjunta de densidade vista como função dos parâmetros — é o produto das densidades individuais:
Passo 3
Para simplificar cálculos, passamos para o logaritmo da verossimilhança (log-verossimilhança). Tomar log é monótono (maximizar
é equivalente a maximizar seu log), e transforma produtos em somas, facilitando derivadas.
O log-verossimilhança
fica:
Explicando termos:
-
vem do produto dos fatores ; -
é a soma dos expoentes negativos.
Passo 4
Agora encontramos o estimador MLE de
diferenciando
em relação a
e igualando a zero. Primeiro calcule a derivada:
Derivando
em relação a
:
Aqui usamos a regra da cadeia: derivada de
em relação a
é
.
Simplificando:
Igualamos a zero para encontrar candidato a máximo:
Daí obtemos
Ou seja, o MLE para
é a média amostral. Cada símbolo:
-
é o estimador de máxima verossimilhança para ; -
é a média aritmética da amostra.
Passo 5
Verificação que é máximo (curvatura): a segunda derivada de
em relação a
é
Como
, a segunda derivada é negativa, o que indica que a solução encontrada é de fato um máximo local (e aqui é máximo global para esse problema).
Passo 6
Agora encontramos o MLE para
. É mais simples derivar
em relação a
(em vez de
). Calcule a derivada:
Começando de
derivamos em relação a
:
Explicando: derivada de
é
, e derivada de
(com
) é
.
Igualando a zero:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Daí
Mas atenção: ao encontrar o MLE em conjunto, devemos usar
(o MLE para
) no termo da soma. Portanto o estimador final (prático) é
Passo 7
Verificação de máximo em relação a
: a segunda derivada é
Avaliada na solução
a curvatura é negativa (pode ser mostrado substituindo), o que confirma que é máximo local. Em problemas padrão de normal é o máximo global.
Passo 8
Comentários didáticos e observações úteis para a prova:
- Resumo prático: o MLE de
é a média amostral; o MLE de é a média dos quadrados dos desvios em torno da média amostral (com denominador ). - Importante: o estimador
é o MLE, mas é viesado: . Por isso, para estimativa não viesada da variância usa-se o estimador com denominador
- Em prova: descreva rapidamente a função verossimilhança, passe para o log, derive em relação aos parâmetros, iguale a zero, resolva e verifique o sinal da segunda derivada — esse roteiro vale muitos pontos.