Determine a frequência de ressonância do canal do ouvido humano. Considere-o como um tubo semiaberto com 8,0 \mathrm{~mm} de diâmetro e 2,5 \mathrm{~cm} de comprimento. Considere que a temperatura no interior do ouvido seja a temperatura corporal \left(37^{\circ} \mathrm{C}\right).

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a frequência de ressonância do canal do ouvido humano, tratando-o como um tubo semiaberto.
Informações dadas (pegar do enunciado):
  • Diâmetro do canal: d=8,0\\ \mathrm{mm}.
  • Comprimento do canal: L=2,5\\ \mathrm{cm}.
  • Temperatura dentro do ouvido (temperatura corporal): T=37^\circ\mathrm{C}.
Observação: o enunciado não pede explicitamente considerar correção de extremidade, mas o diâmetro foi fornecido — isso permite calcular a correção de extremidade do orifício aberto, que costuma ser importante em tubos curtos. Vou usar essa informação para uma estimativa mais realista.

Passo 2

Modelo físico e ideia da solução (sem cálculos ainda).
  • Um “tubo semiaberto” significa que um extremo é fechado (tímpano) e o outro está aberto (entrada do canal). Para esse tipo de tubo as ressonâncias ocorrem quando se formam ondas estacionárias com um nó de velocidade (ou nó de pressão) no extremo aberto e um antinódo no extremo fechado.
  • Fórmula básica para os modos de um tubo fechado em uma extremidade (semiaberto): as frequências ressonantes são
f_n=\dfrac{(2n-1)\,v}{4L_\text{ef}},
onde n=1,2,3,\dots, v é a velocidade do som no ar e L_\text{ef} é o comprimento efetivo do tubo (que pode diferir do comprimento físico L por causa da correção de extremidade).
  • Vou calcular primeiro a velocidade do som v à temperatura 37^\circ\mathrm{C}. Em seguida avalio a correção de extremidade a partir do diâmetro e calculo a frequência fundamental ( n=1):
f_1=\dfrac{v}{4L_\text{ef}}.

Passo 3

Cálculo da velocidade do som à temperatura dada e explicação da fórmula.
Explicação didática curta: a velocidade do som no ar depende da temperatura porque o ar mais quente permite que as perturbações se propaguem mais rápido. Duas formas simples de obter v:
  • Aproximação empírica: v\approx 331 + 0,6\,T com T em {}^\circ\mathrm{C}.
  • Fórmula termodinâmica (mais “primordial”): v=\sqrt{\dfrac{\gamma R T_K}{M}}, onde
    • \gamma é a razão de capacidades térmicas do ar ( \gamma\approx1,40),
    • R é a constante universal dos gases ( R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}),
    • T_K é a temperatura em kelvin,
    • M é a massa molar do ar ( M\approx0,028964\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}).
      Vou usar a fórmula termodinâmica para ser consistente.
Converter a temperatura:
T_K = 37^\circ\mathrm{C} = 37 + 273,15 = 310,15\\ \mathrm{K}.
Calcular v:
v=\sqrt{\dfrac{\gamma R T_K}{M}} =\sqrt{\dfrac{1,40 \times 8,314 \times 310,15}{0,028964}}.
Agora as contas (passo a passo):
1,40\times 8,314 = 11,6396,
11,6396\times 310,15 \approx 3610,02,
\dfrac{3610,02}{0,028964} \approx 124709{,}
v=\sqrt{124709{,}} \approx 353,15\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
(Confere com a aproximação empírica v\approx 331+0,6\times37=353,2\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.)

Passo 4

Correção de extremidade e comprimento efetivo.
Explicação didática: o ar “fora” do tubo vibra um pouco, fazendo com que o tubo efetivamente pareça um pouco mais longo do que seu comprimento físico. Para um orifício circular não flangeado a correção de extremidade aproximada é
\Delta L \approx 0,6\,r,
onde r é o raio do tubo. Essa correção é empírica mas muito usada em problemas de acústica de tubos curtos.
Calcular o raio a partir do diâmetro dado:
d=8,0\\ \mathrm{mm}=0,008\\ \mathrm{m},\qquad r=\dfrac{d}{2}=0,004\\ \mathrm{m}.
Correção de extremidade:
\Delta L = 0,6\,r = 0,6\times 0,004 = 0,0024\\ \mathrm{m}.
Comprimento físico convertido:
L=2,5\\ \mathrm{cm}=0,025\\ \mathrm{m}.
Comprimento efetivo:
L_\text{ef}=L+\Delta L=0,025+0,0024=0,0274\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Fórmula da frequência fundamental e cálculo numérico final.
Relembrando a fórmula para o primeiro modo ( n=1) do tubo semiaberto:
f_1=\dfrac{v}{4L_\text{ef}}.
Substituindo os valores que calculamos:
f_1=\dfrac{353,15}{4\times 0,0274}=\dfrac{353,15}{0,1096}\approx 3223\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando para duas casas significativas apropriadas:
f_1\approx 3,22\times10^3\\ \mathrm{Hz}=3,22\\ \mathrm{kHz}.
Para comparação rápida: se ignorássemos a correção de extremidade (isto é, L_\text{ef}=L=0,025\\ \mathrm{m}), teríamos
f_1=\dfrac{353,15}{4\times 0,025}=\dfrac{353,15}{0,100}=3531\\ \mathrm{Hz}\approx 3,53\\ \mathrm{kHz}.
Ou seja, a correção de extremidade reduz a frequência fundamental para cerca de 3{,}2\\ \mathrm{kHz}, que é consistente com a faixa onde o ouvido humano é especialmente sensível.

Resposta

\displaystyle f\approx 3,22\\ \mathrm{kHz}

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