Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado.
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x+7 & , x \neq 2 \\\ L & , x=2\end{array}\right. em p=2

Passo 1

O enunciado dá a função por partes e pede para determinar L de forma que a função seja contínua no ponto p=2. Informações fornecidas:
  • Para x\neq 2, vale f(x)=2x+7.
  • Para x=2, vale f(2)=L.
  • Pergunta: qual valor de L faz com que f seja contínua em p=2?

Passo 2

Recordando (de forma prática) o que significa ser contínua em p=2: a função f é contínua em p=2 quando o limite de f(x) quando x se aproxima de 2 existe e é igual ao valor da função em 2. Em símbolos:
\lim_{x\to 2} f(x) = f(2).
Aqui f(2)=L, então a condição fica
\lim_{x\to 2} f(x) = L.

Passo 3

Para calcular \lim_{x\to 2} f(x) observamos que, para x próximos de 2 mas diferentes de 2, a expressão de f é 2x+7. Logo
\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2} (2x+7).
Explicando por que podemos simplesmente avaliar: 2x+7 é uma função linear (um polinômio de grau 1), e funções polinomiais são contínuas em todo ponto. Portanto o limite ao aproximar x de 2 é igual ao valor da expressão em x=2.

Passo 4

Agora calculamos a avaliação direta:
\lim_{x\to 2} (2x+7) = 2\cdot 2 + 7 = 4 + 7 = 11.

Passo 5

Como a condição de continuidade exige \lim_{x\to 2} f(x)=L, devemos ter L=11. Verificação rápida: se escolhermos L=11 então \lim_{x\to 2} f(x)=11=f(2), logo f é contínua em 2. Se L\neq 11, a igualdade falha e a função teria descontinuidade no ponto.

Resposta

L=11

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