Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado.
f(x)=\left\{\begin{array}{cll}1 & , x>0 & \\\ L & , x=0 & \text { em } p=0 \\\\ -1 & , x<0 & \end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função é dada por
f(x)=\begin{cases} 1, & x>0,\\[4pt] L, & x=0,\\[4pt] -1, & x<0. \end{cases}
  • O ponto em que queremos continuidade é p=0.
O que o enunciado pede: determinar o(s) valor(es) de L para que f seja contínua em 0.]

Passo 2

Relembrando a definição prática de continuidade em um ponto (passinho didático): Uma função f é contínua em x=0 se e somente se
  1. o limite \displaystyle\lim_{x\to0}f(x) existe, e
  2. esse limite é igual ao valor da função no ponto, isto é, \displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=L.
Para o limite \displaystyle\lim_{x\to0}f(x) existir é necessário que os limites laterais existam e sejam iguais:
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x).
Vou calcular esses dois limites e depois ver se dá para escolher L de modo que a igualdade acima e a igualdade com f(0) ocorram.

Passo 3

Cálculo do limite pela direita ( x\to0^+).
Para x>0 a função vale sempre 1. Portanto, ao aproximar x de 0 vindo da direita, os valores da função são constantemente 1. Assim
\lim_{x\to0^+}f(x)=1.
Explicação simples: se para todos os x num intervalo (0,\delta) temos f(x)=1, então ao mandar x para 0^+ o valor se aproxima de 1.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda ( x\to0^-).
Para x<0 a função vale sempre -1. Portanto, ao aproximar x de 0 vindo da esquerda, os valores da função são constantemente -1. Assim
\lim_{x\to0^-}f(x)=-1.
Mesmo raciocínio do passo anterior, trocando o sinal.

Passo 5

Comparando os limites laterais:
\lim_{x\to0^+}f(x)=1\qquad\text{e}\qquad\lim_{x\to0^-}f(x)=-1.
Como 1\neq -1, os limites laterais são diferentes, logo o limite \displaystyle\lim_{x\to0}f(x) NÃO existe. Pela definição de continuidade (Passo 2), se o limite não existe não há como ter continuidade em 0, independentemente do valor escolhido para L. Para ver isso concretamente: escolher L=1 faria f(0)=1 igual ao limite pela direita, mas o limite pela esquerda é -1 e o limite global ainda não existe; escolher L=-1 tem o mesmo problema invertido. Não há nenhum L que torne os dois lados iguais simultaneamente.

Resposta

Não existe valor de L que torne f contínua em 0.

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