1. Determine a função inversa da função bijetora f: I R-\{4\} \rightarrow I R-\{2\} definida por f(x)=\frac{2 x-3}{x+4}.

Passo 1

O enunciado pede a inversa da bijeção
\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{-4\}\to\mathbb{R}\setminus\{2\}
definida por
f(x)=\frac{2x-3}{x+4}.
Para isso, precisamos resolver a equação y=\frac{2x-3}{x+4} em função de x.

Passo 2

Seja \displaystyle y=f(x). Então
y=\frac{2x-3}{x+4}.
Multiplicando ambos os lados por (x+4), obtemos
y(x+4)=2x-3.

Passo 3

Expandindo e agrupando os termos que contêm x:
yx+4y=2x-3 \quad\Longrightarrow\quad yx-2x=-3-4y.

Passo 4

Colocando x em evidência:
x(y-2)=-\bigl(4y+3\bigr).
Como \displaystyle y\neq2 (essa é a condição para que f seja sobrejetora em \mathbb{R}\setminus\{2\}), dividimos:
x=-\frac{4y+3}{y-2} =\frac{4y+3}{2-y}.

Passo 5

Trocando o nome da variável de volta para x, a inversa fica
f^{-1}(x)=\frac{4x+3}{2-x}.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{4x+3}{2-x}.

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