Determine a intensidade da aceleração do carro de corrida do problema anterior em termos de b, \theta, \dot{\theta} e \ddot{\theta}. (BJC 11.168) R. a=\left(b / \cos ^{2} \theta\right)\left(\ddot{\theta}+2 \dot{\theta}^{2} \tan \theta\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a intensidade da aceleração do carro de corrida em função de b,\\ \theta,\\ \dot{\theta} e \ddot{\theta}.
Informações relevantes (peguei estas informações da figura enviada):
  • O ponto A está a uma distância horizontal b da linha central da pista (onde o carro se move).
  • O carro se move numa trajetória reta vertical (ao longo da linha central), portanto sua coordenada ao longo da pista é uma distância vertical que varia com o tempo; essa distância chamarei de y(t).
  • O ângulo \theta(t) é o ângulo entre a direção horizontal (a partir de A) e a reta que vai de A ao carro.
  • As quantidades \dot{\theta} e \ddot{\theta} são as derivadas temporais de \theta (velocidade angular e aceleração angular).
  • A pergunta: encontrar a intensidade (módulo) da aceleração do carro a escrita apenas em termos de b,\\ \theta,\\ \dot{\theta},\\ \ddot{\theta}.

Passo 2

Relacionamento geométrico entre y e \theta.
Na figura a distância horizontal desde A até a linha do carro é b e a distância vertical do mesmo nível de A até o carro é y. Pela trigonometria básica, a tangente do ângulo é a razão entre o cateto oposto (aqui y) e o cateto adjacente (aqui b). Portanto:
\tan\theta=\frac{y}{b}.
Isolando y obtemos a relação geométrica que usaremos:
y=b\tan\theta.
Comentários didáticos rápidos sobre essa etapa: \tan\theta é definido como \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} e corresponde ao cateto oposto sobre o adjacente num triângulo retângulo. Usando essa definição é direto chegar em y=b\tan\theta.

Passo 3

Derivando para obter a velocidade do carro em termos de \theta e \dot{\theta}.
Diferenciamos y=b\tan\theta em relação ao tempo. Aqui usamos a regra da cadeia: se y(t)=b\cdot f(\theta(t)) então \dot y=b\cdot f'(\theta)\dot\theta. A derivada de \tan\theta em relação a \theta é \operatorname{sec}^2\theta (lembre: \operatorname{sec}\theta=1/\cos\theta). Assim:
\dot y = b\cdot \operatorname{sec}^2\theta\;\dot\theta.
Exemplo rápido para fixar: se \theta(t)=t então \dot y=b\operatorname{sec}^2(t), que é a aplicação direta da regra da cadeia.

Passo 4

Derivando novamente para obter a aceleração do carro \ddot y em termos de \theta,\\ \dot\theta,\\ \ddot\theta.
Diferenciamos \dot y=b\operatorname{sec}^2\theta\;\dot\theta em relação ao tempo. Aplicamos produto e cadeia:
  • derivada de \operatorname{sec}^2\theta em relação a \theta é 2\operatorname{sec}^2\theta\tan\theta (porque \dfrac{d}{d\theta}\operatorname{sec}^2\theta=2\operatorname{sec}\theta\cdot\operatorname{sec}\theta\tan\theta);
  • então, usando produto e cadeia,
\ddot y = b\left(\frac{d}{dt}(\operatorname{sec}^2\theta)\cdot\dot\theta + \operatorname{sec}^2\theta\cdot\ddot\theta\right).
Agora \dfrac{d}{dt}(\operatorname{sec}^2\theta)=2\operatorname{sec}^2\theta\tan\theta\;\dot\theta. Substituindo:
\ddot y = b\left(2\operatorname{sec}^2\theta\tan\theta\;\dot\theta\cdot\dot\theta + \operatorname{sec}^2\theta\;\ddot\theta\right).
Agrupando termos comuns \operatorname{sec}^2\theta:
\ddot y = b\operatorname{sec}^2\theta\left(\ddot\theta + 2\dot\theta^{2}\tan\theta\right).

Passo 5

Interpretação final e escrita como a intensidade da aceleração.
O carro se move apenas ao longo da direção vertical y, portanto a intensidade (módulo) da aceleração do carro é a=|\ddot y|. A expressão obtida para \ddot y dá a aceleração (com sinal de acordo com o sentido); a intensidade pedida é representada normalmente pela expressão algébrica (sem o valor absoluto explícito, tal como no gabarito). Substituindo \operatorname{sec}^2\theta=1/\cos^2\theta obtemos a forma final:
a=\frac{b}{\cos^{2}\theta}\left(\ddot\theta+2\dot\theta^{2}\tan\theta\right).
Força extra de ânimo: calma — a ideia central é transformar a posição vertical em função do ângulo ( y=b\tan\theta) e aplicar derivadas temporais com cuidado (cadeia + produto). Dá para fazer direitinho na prova!

Resposta

a=\frac{b}{\cos^{2}\theta}\left(\ddot{\theta}+2\dot{\theta}^{2}\tan\theta\right)

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