Determine a intensidade da aceleração do carro de corrida do problema anterior em termos de
e
. (BJC 11.168) R.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a intensidade da aceleração do carro de corrida em função de
e
.
Informações relevantes (peguei estas informações da figura enviada):
- O ponto
está a uma distância horizontal da linha central da pista (onde o carro se move). - O carro se move numa trajetória reta vertical (ao longo da linha central), portanto sua coordenada ao longo da pista é uma distância vertical que varia com o tempo; essa distância chamarei de
. - O ângulo
é o ângulo entre a direção horizontal (a partir de ) e a reta que vai de ao carro. - As quantidades
e são as derivadas temporais de (velocidade angular e aceleração angular). - A pergunta: encontrar a intensidade (módulo) da aceleração do carro
escrita apenas em termos de .
Passo 2
Relacionamento geométrico entre
e
.
Na figura a distância horizontal desde
até a linha do carro é
e a distância vertical do mesmo nível de
até o carro é
. Pela trigonometria básica, a tangente do ângulo é a razão entre o cateto oposto (aqui
) e o cateto adjacente (aqui
). Portanto:
Isolando
obtemos a relação geométrica que usaremos:
Comentários didáticos rápidos sobre essa etapa:
é definido como
e corresponde ao cateto oposto sobre o adjacente num triângulo retângulo. Usando essa definição é direto chegar em
.
Passo 3
Derivando para obter a velocidade do carro em termos de
e
.
Diferenciamos
em relação ao tempo. Aqui usamos a regra da cadeia: se
então
. A derivada de
em relação a
é
(lembre:
). Assim:
Exemplo rápido para fixar: se
então
, que é a aplicação direta da regra da cadeia.
Passo 4
Derivando novamente para obter a aceleração do carro
em termos de
.
Diferenciamos
em relação ao tempo. Aplicamos produto e cadeia:
- derivada de
em relação a é (porque ); - então, usando produto e cadeia,
Agora
. Substituindo:
Agrupando termos comuns
:
Passo 5
Interpretação final e escrita como a intensidade da aceleração.
O carro se move apenas ao longo da direção vertical
, portanto a intensidade (módulo) da aceleração do carro é
. A expressão obtida para
dá a aceleração (com sinal de acordo com o sentido); a intensidade pedida é representada normalmente pela expressão algébrica (sem o valor absoluto explícito, tal como no gabarito). Substituindo
obtemos a forma final:
Força extra de ânimo: calma — a ideia central é transformar a posição vertical em função do ângulo (
) e aplicar derivadas temporais com cuidado (cadeia + produto). Dá para fazer direitinho na prova!