Determine o intervalo de variação de
, sabendo que as faces de um triedro medem:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. As faces do triedro são:
O que se pede: determinar o intervalo de valores de
para os quais essas três medidas podem ser as faces (os ângulos entre as arestas) de um triedro válido.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Cada
representa uma medida angular em graus. - Não há outros dados numéricos além dos expressos acima.
- Implicações imediatas de validade óbvias: cada face deve ser positiva e menor que
(ângulo plano entre duas arestas).
Passo 2
Explicar o conceito geométrico que vamos usar (de forma didática): ao redor do vértice de um triedro, considere a esfera unitária centrada nesse vértice. As interseções das três faces do triedro com essa esfera determinam três pontos sobre a esfera; as três arestas geram três segmentos de grande círculo entre esses pontos. Esses três segmentos formam um triângulo esférico cujos lados (medidos em ângulo) são exatamente as medidas das faces do triedro. Portanto, existe um triedro com faces
se, e somente se, existe um triângulo esférico com lados dessas medidas.
Breve explicação do que isso implica em termos de condições: para existir um triângulo esférico com lados
vale, de forma análoga ao caso euclidiano, que cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois (senão o “triângulo” seria degenerado numa única grande circunferência). Além disso, cada lado deve satisfazer
porque o arco máximo entre dois pontos distintos na esfera (o de menor comprimento) é
. Assim as condições necessárias e suficientes para existência (não degenerada) do triângulo esférico são:
e as desigualdades estritas
Passo 3
Aplicar as condições de positividade e limite
às faces dadas.
Cada face deve satisfazer
. Usando
,
,
:
- Para
: . - Para
: . Isso dá duas desigualdades:
- Para
: já satisfaz .
Combinando estas condições básicas obtemos inicialmente:
Passo 4
Agora usamos as desigualdades triangulares esféricas (as três desigualdades estritas) com os valores dados.
Primeira desigualdade:
. Substituindo:
Resolver passo a passo:
Essa nos dá
, que já tínhamos pela positividade de
.
Passo 5
Segunda desigualdade:
. Substituindo:
Resolver:
Portanto dessa desigualdade obtemos
, que é mais restritivo que a condição anterior
.
Passo 6
Terceira desigualdade:
. Substituindo:
Resolver:
De novo obtemos
, que já tínhamos.
Passo 7
Juntando todas as restrições (as básicas e as triangulares) temos:
- das positividade:
, - da segunda desigualdade triangular:
.
Portanto as condições combinadas reduzem-se a
Comentário final sobre extremos: as desigualdades são estritas porque igualdade em qualquer uma delas corresponderia a um triângulo esférico degenerado (os três pontos estariam sobre um mesmo grande círculo e o triedro seria degenerado), e normalmente se exige um triedro com faces bem definidas (não degenerado). Assim os extremos
e
não são admitidos.