Determine o intervalo de variação de x, sabendo que as faces de um triedro medem:
f_{1}=x, \quad f_{2}=2 x-60^{\circ}, \quad f_{3}=30^{\circ} .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. As faces do triedro são:
f_{1}=x,\qquad f_{2}=2x-60^{\circ},\qquad f_{3}=30^{\circ}.
O que se pede: determinar o intervalo de valores de x para os quais essas três medidas podem ser as faces (os ângulos entre as arestas) de um triedro válido.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Cada f_i representa uma medida angular em graus.
  • Não há outros dados numéricos além dos expressos acima.
  • Implicações imediatas de validade óbvias: cada face deve ser positiva e menor que 180^\circ (ângulo plano entre duas arestas).

Passo 2

Explicar o conceito geométrico que vamos usar (de forma didática): ao redor do vértice de um triedro, considere a esfera unitária centrada nesse vértice. As interseções das três faces do triedro com essa esfera determinam três pontos sobre a esfera; as três arestas geram três segmentos de grande círculo entre esses pontos. Esses três segmentos formam um triângulo esférico cujos lados (medidos em ângulo) são exatamente as medidas das faces do triedro. Portanto, existe um triedro com faces f_1,f_2,f_3 se, e somente se, existe um triângulo esférico com lados dessas medidas.
Breve explicação do que isso implica em termos de condições: para existir um triângulo esférico com lados a,b,c vale, de forma análoga ao caso euclidiano, que cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois (senão o “triângulo” seria degenerado numa única grande circunferência). Além disso, cada lado deve satisfazer 0<a,b,c<180^\circ porque o arco máximo entre dois pontos distintos na esfera (o de menor comprimento) é 180^\circ. Assim as condições necessárias e suficientes para existência (não degenerada) do triângulo esférico são:
0^\circ<a<180^\circ,\quad 0^\circ<b<180^\circ,\quad 0^\circ<c<180^\circ,
e as desigualdades estritas
a<b+c,\quad b<c+a,\quad c<a+b.

Passo 3

Aplicar as condições de positividade e limite 180^\circ às faces dadas.
Cada face deve satisfazer 0^\circ<f_i<180^\circ. Usando f_1=x, f_2=2x-60^\circ, f_3=30^\circ:
  • Para f_1: 0^\circ < x < 180^\circ.
  • Para f_2: 0^\circ < 2x-60^\circ < 180^\circ. Isso dá duas desigualdades: 2x-60^\circ>0^\circ \quad\Rightarrow\quad x>30^\circ,
2x-60^\circ<180^\circ \quad\Rightarrow\quad 2x<240^\circ \quad\Rightarrow\quad x<120^\circ.
  • Para f_3: f_3=30^\circ já satisfaz 0^\circ<30^\circ<180^\circ.
Combinando estas condições básicas obtemos inicialmente:
30^\circ < x < 120^\circ.

Passo 4

Agora usamos as desigualdades triangulares esféricas (as três desigualdades estritas) com os valores dados.
Primeira desigualdade: f_1 < f_2 + f_3. Substituindo:
x < (2x-60^\circ) + 30^\circ.
Resolver passo a passo:
x < 2x - 30^\circ \quad\Rightarrow\quad 0 < x - 30^\circ \quad\Rightarrow\quad x > 30^\circ.
Essa nos dá x>30^\circ, que já tínhamos pela positividade de f_2.

Passo 5

Segunda desigualdade: f_2 < f_1 + f_3. Substituindo:
2x-60^\circ < x + 30^\circ.
Resolver:
2x-60^\circ < x+30^\circ \quad\Rightarrow\quad 2x - x < 30^\circ + 60^\circ \quad\Rightarrow\quad x < 90^\circ.
Portanto dessa desigualdade obtemos x<90^\circ, que é mais restritivo que a condição anterior x<120^\circ.

Passo 6

Terceira desigualdade: f_3 < f_1 + f_2. Substituindo:
30^\circ < x + (2x-60^\circ).
Resolver:
30^\circ < 3x - 60^\circ \quad\Rightarrow\quad 3x > 90^\circ \quad\Rightarrow\quad x > 30^\circ.
De novo obtemos x>30^\circ, que já tínhamos.

Passo 7

Juntando todas as restrições (as básicas e as triangulares) temos:
  • das positividade: x>30^\circ,
  • da segunda desigualdade triangular: x<90^\circ.
Portanto as condições combinadas reduzem-se a
30^\circ < x < 90^\circ.
Comentário final sobre extremos: as desigualdades são estritas porque igualdade em qualquer uma delas corresponderia a um triângulo esférico degenerado (os três pontos estariam sobre um mesmo grande círculo e o triedro seria degenerado), e normalmente se exige um triedro com faces bem definidas (não degenerado). Assim os extremos x=30^\circ e x=90^\circ não são admitidos.

Resposta

30^\circ < x < 90^\circ

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