Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas claras:
- Determinar os intervalos em que
é côncava para cima. - Determinar os intervalos em que
é côncava para baixo. - Encontrar os pontos de inflexão (os pontos do gráfico onde a concavidade muda).
Informação dada:
Passo 2
O que significa “concavidade” e como testá-la na prova (aulas rápidas):
- A concavidade de uma função é detectada pela segunda derivada.
- Regra prática: se a segunda derivada
em um intervalo, é côncava para cima ali; se , é côncava para baixo. - Um ponto de inflexão é um ponto
onde (ou indefinida) e onde a segunda derivada muda de sinal ao atravessar . Ou seja, a concavidade realmente troca de cima para baixo ou vice‑versa.
Motivação rápida (intuitiva): concavidade para cima significa o gráfico “abre para cima” como um copo; concavidade para baixo significa “abre para baixo” como uma cúpula. A segunda derivada mede a curvatura — penso nela como a taxa de variação da inclinação.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias passo a passo (sem pular etapas).
Primeira derivada:
Fatorando:
Segunda derivada:
Fatorando para facilitar análise de sinais:
Passo 4
Encontrar os pontos onde a segunda derivada é zero (candidatos a mudança de concavidade):
Como produto é zero, as soluções são:
Portanto os pontos críticos de concavidade são
e
.
Passo 5
Analisar o sinal de
em cada intervalo definido por essas raízes:
,
e
.
Usamos a forma fatorada . O fator
é positivo e não afeta o sinal; o sinal vem de
e
.
Usamos a forma fatorada
-
Para
(escolha ): dá fator negativo; em é (negativo). Negativo vezes negativo = positivo. Logo em temos (côncava para cima). -
Para
(escolha ): é positivo; em é (negativo). Positivo vezes negativo = negativo. Logo em temos (côncava para baixo). -
Para
(escolha ): positivo; em é (positivo). Positivo vezes positivo = positivo. Logo em temos (côncava para cima).
Resumo do sinal:
Passo 6
Identificar pontos de inflexão: são as abscissas onde
e onde o sinal de
muda. Vimos que em
o sinal passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) — mudança de concavidade; em
o sinal passa de negativo para positivo — também mudança. Portanto ambos são pontos de inflexão.
Agora calcular as ordenadas (valores de
) nesses pontos para dar o ponto completo no plano.
- Em
:
Então ponto
.
- Em
:
Calcular passo a passo:
Substituindo em
:
Calcular cada termo:
Então
Portanto o ponto é
.
Passo 7
Conclusões finais prontas para a prova (resumindo de forma direta e memorizável):
- Côncava para cima onde
: . - Côncava para baixo onde
: . - Pontos de inflexão:
e .
Força — você já tem os passos que geralmente caem em prova: derive, derive de novo, ache zeros de
, faça um quadro de sinais e calcule as ordenadas dos pontos de inflexão.
Resposta
Côncava para cima:
Côncava para baixo:
Pontos de inflexão: e
Côncava para baixo:
Pontos de inflexão: