Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão das seguintes funções:
f(x)=3 x^{4}-4 x^{3}+1.

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede três coisas claras:
  • Determinar os intervalos em que f é côncava para cima.
  • Determinar os intervalos em que f é côncava para baixo.
  • Encontrar os pontos de inflexão (os pontos do gráfico onde a concavidade muda).
Informação dada:
f(x)=3x^{4}-4x^{3}+1.

Passo 2

O que significa “concavidade” e como testá-la na prova (aulas rápidas):
  • A concavidade de uma função é detectada pela segunda derivada.
  • Regra prática: se a segunda derivada \,f''(x)>0 em um intervalo, f é côncava para cima ali; se \,f''(x)<0, f é côncava para baixo.
  • Um ponto de inflexão é um ponto x_0 onde \,f''(x_0)=0 (ou \,f'' indefinida) e onde a segunda derivada muda de sinal ao atravessar x_0. Ou seja, a concavidade realmente troca de cima para baixo ou vice‑versa.
Motivação rápida (intuitiva): concavidade para cima significa o gráfico “abre para cima” como um copo; concavidade para baixo significa “abre para baixo” como uma cúpula. A segunda derivada mede a curvatura — penso nela como a taxa de variação da inclinação.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias passo a passo (sem pular etapas).
Primeira derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{4}-4x^{3}+1\bigr) =3\cdot4x^{3}-4\cdot3x^{2}+0 =12x^{3}-12x^{2}.
Fatorando:
f'(x)=12x^{2}(x-1).
Segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(12x^{3}-12x^{2}\bigr) =12\cdot3x^{2}-12\cdot2x =36x^{2}-24x.
Fatorando para facilitar análise de sinais:
f''(x)=12x(3x-2).

Passo 4

Encontrar os pontos onde a segunda derivada é zero (candidatos a mudança de concavidade):
f''(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad 12x(3x-2)=0.
Como produto é zero, as soluções são:
x=0\quad\text{ou}\quad 3x-2=0\Rightarrow x=\frac{2}{3}.
Portanto os pontos críticos de concavidade são x=0 e x=\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Analisar o sinal de f''(x) em cada intervalo definido por essas raízes: (-\infty,0), (0,\tfrac{2}{3}) e (\tfrac{2}{3},\infty).
Usamos a forma fatorada \,f''(x)=12x(3x-2). O fator 12 é positivo e não afeta o sinal; o sinal vem de x e 3x-2.
  • Para x<0 (escolha x=-1): x<0 dá fator x negativo; 3x-2 em x=-1 é 3(-1)-2=-5 (negativo). Negativo vezes negativo = positivo. Logo em (-\infty,0) temos f''(x)>0 (côncava para cima).
  • Para 0<x<\tfrac{2}{3} (escolha x=\tfrac{1}{2}): x é positivo; 3x-2 em x=\tfrac{1}{2} é 3\cdot\tfrac{1}{2}-2=\tfrac{3}{2}-2=-\tfrac{1}{2} (negativo). Positivo vezes negativo = negativo. Logo em (0,\tfrac{2}{3}) temos f''(x)<0 (côncava para baixo).
  • Para x>\tfrac{2}{3} (escolha x=1): x positivo; 3x-2 em x=1 é 1 (positivo). Positivo vezes positivo = positivo. Logo em (\tfrac{2}{3},\infty) temos f''(x)>0 (côncava para cima).
Resumo do sinal:
f''(x)>0\\ \text{em}\\ (-\infty,0)\cup\left(\tfrac{2}{3},\infty\right), \qquad f''(x)<0\\ \text{em}\\ \left(0,\tfrac{2}{3}\right).

Passo 6

Identificar pontos de inflexão: são as abscissas onde f''(x)=0 e onde o sinal de f'' muda. Vimos que em x=0 o sinal passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) — mudança de concavidade; em x=\tfrac{2}{3} o sinal passa de negativo para positivo — também mudança. Portanto ambos são pontos de inflexão.
Agora calcular as ordenadas (valores de f) nesses pontos para dar o ponto completo no plano.
  • Em x=0:
f(0)=3\cdot0^{4}-4\cdot0^{3}+1=1.
Então ponto \bigl(0,1\bigr).
  • Em x=\tfrac{2}{3}:
    Calcular passo a passo:
\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}=\tfrac{4}{9},\quad \left(\tfrac{2}{3}\right)^{3}=\tfrac{8}{27},\quad \left(\tfrac{2}{3}\right)^{4}=\tfrac{16}{81}.
Substituindo em f:
f\!\left(\tfrac{2}{3}\right) =3\cdot\tfrac{16}{81}-4\cdot\tfrac{8}{27}+1.
Calcular cada termo:
3\cdot\tfrac{16}{81}=\tfrac{48}{81}=\tfrac{16}{27}, \qquad 4\cdot\tfrac{8}{27}=\tfrac{32}{27}.
Então
f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\tfrac{16}{27}-\tfrac{32}{27}+1 =-\tfrac{16}{27}+1=\;1-\tfrac{16}{27}=\tfrac{27}{27}-\tfrac{16}{27}=\tfrac{11}{27}.
Portanto o ponto é \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{11}{27}\bigr).

Passo 7

Conclusões finais prontas para a prova (resumindo de forma direta e memorizável):
  • Côncava para cima onde f''(x)>0: (-\infty,0)\cup\bigl(\tfrac{2}{3},\infty\bigr).
  • Côncava para baixo onde f''(x)<0: \bigl(0,\tfrac{2}{3}\bigr).
  • Pontos de inflexão: \bigl(0,1\bigr) e \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{11}{27}\bigr).
Força — você já tem os passos que geralmente caem em prova: derive, derive de novo, ache zeros de f'', faça um quadro de sinais e calcule as ordenadas dos pontos de inflexão.

Resposta

Côncava para cima: (-\infty,0)\cup\bigl(\tfrac{2}{3},\infty\bigr)
Côncava para baixo: \bigl(0,\tfrac{2}{3}\bigr)
Pontos de inflexão: \bigl(0,1\bigr) e \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{11}{27}\bigr)

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