Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão das seguintes funções:
f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x-1.

Passo 1

O enunciado pede claramente duas coisas para a função f(x)=x^{3}-3x^{2}+4x-1:
  • Determinar os intervalos onde a função é côncava para cima.
  • Determinar os intervalos onde a função é côncava para baixo.
  • Encontrar os pontos de inflexão (se houver).
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{3}-3x^{2}+4x-1.
  • Não há outras restrições ou figuras.

Passo 2

Conceitos úteis (explicados de forma simples):
  • A concavidade de uma função está ligada ao sinal da segunda derivada.
  • Regra prática:
    • Se f''(x)>0 num intervalo, a curva é côncava para cima ali (parece uma “tigela” voltada para cima).
    • Se f''(x)<0 num intervalo, a curva é côncava para baixo ali (parece um “arco” voltado para baixo).
  • Um ponto de inflexão é um ponto onde a concavidade muda de cima para baixo ou de baixo para cima. Normalmente isso ocorre onde f''(x)=0 (ou onde f'' é indefinida), mas é preciso verificar que realmente há troca de sinal em f''.

Passo 3

Vou calcular a primeira derivada f'(x). Uso as regras básicas de derivação termo a termo:
  • A derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • A derivada de -3x^{2} é -6x.
  • A derivada de 4x é 4.
  • A derivada de -1 é 0.
Portanto,
f'(x)=3x^{2}-6x+4.

Passo 4

Agora calculo a segunda derivada f''(x) derivando f'(x):
  • A derivada de 3x^{2} é 6x.
  • A derivada de -6x é -6.
  • A derivada de 4 é 0.
Logo,
f''(x)=6x-6.

Passo 5

Encontro os pontos candidatos a inflexão resolvendo f''(x)=0:
6x-6=0 \quad\Rightarrow\quad 6x=6 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Observação: f''(x) é uma função linear definida para todo x, logo não há outros pontos candidatos (não há pontos onde f'' seja indefinida).

Passo 6

Faço a análise de sinal de f''(x)=6x-6 para determinar concavidade.
  • Para x<1: pego um valor teste, por exemplo x=0. Calculando, f''(0)=6\cdot0-6=-6<0.Logo f''(x)<0 para x<1, o que significa que a função é côncava para baixo em (-\infty,1).
  • Para x>1: pego um valor teste, por exemplo x=2. Calculando, f''(2)=6\cdot2-6=12-6=6>0.Logo f''(x)>0 para x>1, o que significa que a função é côncava para cima em (1,\infty).
Como f''(x) troca de sinal ao passar por x=1 (de negativo para positivo), há mudança de concavidade em x=1.

Passo 7

Calculo a ordenada do ponto de inflexão em x=1. Avalio f(1):
f(1)=1^{3}-3\cdot1^{2}+4\cdot1-1 = 1-3+4-1=1.
Portanto o ponto de inflexão é (1,1).

Resposta

Concavidade para cima: (1,\infty)
Concavidade para baixo: (-\infty,1)
Ponto de inflexão: (1,1)

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