Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede claramente duas coisas para a função
:
- Determinar os intervalos onde a função é côncava para cima.
- Determinar os intervalos onde a função é côncava para baixo.
- Encontrar os pontos de inflexão (se houver).
Informações dadas:
- A função é
. - Não há outras restrições ou figuras.
Passo 2
Conceitos úteis (explicados de forma simples):
- A concavidade de uma função está ligada ao sinal da segunda derivada.
- Regra prática:
- Se
num intervalo, a curva é côncava para cima ali (parece uma “tigela” voltada para cima). - Se
num intervalo, a curva é côncava para baixo ali (parece um “arco” voltado para baixo).
- Se
- Um ponto de inflexão é um ponto onde a concavidade muda de cima para baixo ou de baixo para cima. Normalmente isso ocorre onde
(ou onde é indefinida), mas é preciso verificar que realmente há troca de sinal em .
Passo 3
Vou calcular a primeira derivada
. Uso as regras básicas de derivação termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Portanto,
Passo 4
Agora calculo a segunda derivada
derivando
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Logo,
Passo 5
Encontro os pontos candidatos a inflexão resolvendo
:
Observação:
é uma função linear definida para todo
, logo não há outros pontos candidatos (não há pontos onde
seja indefinida).
Passo 6
Faço a análise de sinal de
para determinar concavidade.
- Para
: pego um valor teste, por exemplo . Calculando, Logo para , o que significa que a função é côncava para baixo em . - Para
: pego um valor teste, por exemplo . Calculando, Logo para , o que significa que a função é côncava para cima em .
Como
troca de sinal ao passar por
(de negativo para positivo), há mudança de concavidade em
.
Passo 7
Calculo a ordenada do ponto de inflexão em
. Avalio
:
Portanto o ponto de inflexão é
.
Resposta
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Ponto de inflexão:
Concavidade para baixo:
Ponto de inflexão: