Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão das seguintes funções:
f(x)=\cos x, x \in[0,2 \pi].

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos à mão.
  • Função dada: f(x)=\cos x definida no intervalo [0,2\pi].
  • Perguntas:
    1. Determinar os intervalos onde f é côncava para cima.
    2. Determinar os intervalos onde f é côncava para baixo.
    3. Encontrar os pontos de inflexão no intervalo [0,2\pi].
Informações relevantes extraídas do enunciado: a função trigonométrica \cos x está definida em todo o intervalo [0,2\pi] e é duas vezes diferenciável nesse intervalo (logo podemos usar a segunda derivada para estudar concavidade).

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (mini-aula rápida e prática).
  • Definição prática de concavidade usando a segunda derivada:
    • Se \,f''(x)>0 em um intervalo, então f é côncava para cima nesse intervalo.
    • Se \,f''(x)<0 em um intervalo, então f é côncava para baixo nesse intervalo.
  • Ponto de inflexão:
    • Um ponto x_0 é ponto de inflexão se f''(x_0)=0 (ou f'' não existe) e ocorre mudança de sinal de f'' ao passar por x_0.
  • Estratégia prática:
    1. Calcular f'(x) e f''(x).
    2. Resolver f''(x)>0 e f''(x)<0 no intervalo dado.
    3. Resolver f''(x)=0 e verificar mudança de sinal para confirmar pontos de inflexão.

Passo 3

Calcular as derivadas — passo a passo e por que.
  • Regra usada: derivada de \cos x é -\sin x; derivada de -\sin x é -\cos x.
  • Aplicando: f'(x) = -\sin x.
f''(x) = -\cos x.
Expliquei as fórmulas: \sin x e \cos x são funções conhecidas; as regras de derivação são padrões (derivada de \sin é \cos, de \cos é -\sin).

Passo 4

Estudar o sinal de f''(x) = -\cos x usando o círculo trigonométrico (onde \cos x é positivo/negativo).
  • Queremos onde -\cos x>0 (concavidade para cima) e onde -\cos x<0 (concavidade para baixo).
  • Reescrever as desigualdades:
    • -\cos x>0 \iff \cos x<0.
    • -\cos x<0 \iff \cos x>0.
  • Conhecimento básico sobre \cos x no intervalo [0,2\pi]:
    • \cos x>0 (positivo) em (0,\tfrac{\pi}{2}) e em (\tfrac{3\pi}{2},2\pi); também \cos 0=1>0 e \cos(2\pi)=1>0.
    • \cos x<0 (negativo) em (\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}).
    • \cos x=0 em x=\tfrac{\pi}{2} e em x=\tfrac{3\pi}{2}.
Esses intervalos vêm direto do círculo trigonométrico: \cos x é coordenada x do ponto na circunferência; é positiva nos quadrantes I e IV e negativa no quadrante II e III.

Passo 5

Determinar explicitamente os intervalos de concavidade com base no sinal encontrado.
  • Concavidade para cima: exigimos \cos x<0. No intervalo dado isso acontece em \left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right).Ou seja, f é côncava para cima nesse intervalo aberto.
  • Concavidade para baixo: exigimos \cos x>0. No intervalo dado isso acontece em [0,\tfrac{\pi}{2})\cup\left(\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right].Observação didática: em x=0 e x=2\pi temos f''(0)=-\cos 0=-1<0 e f''(2\pi)=-\cos(2\pi)=-1<0, então a concavidade para baixo também vale nesses pontos extremos; por isso incluí os extremos com colchete. Nos pontos x=\tfrac{\pi}{2} e x=\tfrac{3\pi}{2} temos f''=0, não se coloca esses pontos nos intervalos abertos de concavidade.

Passo 6

Encontrar e verificar os pontos de inflexão.
  • Primeiro resolver f''(x)=0: -\cos x = 0 \iff \cos x = 0 \iff x=\tfrac{\pi}{2},\\ \tfrac{3\pi}{2}\quad\text{(no intervalo \([0,2\pi]\))}.
  • Verificar mudança de sinal de f'':
    • Em x=\tfrac{\pi}{2}: para x<\tfrac{\pi}{2} pequeno, \cos x>0 então f''(x)=-\cos x<0; para x>\tfrac{\pi}{2} pequeno, \cos x<0 então f''(x)>0. Houve mudança de sinal de negativo para positivo → ponto de inflexão.
    • Em x=\tfrac{3\pi}{2}: para x<\tfrac{3\pi}{2} próximo, \cos x<0 então f''(x)>0; para x>\tfrac{3\pi}{2} próximo, \cos x>0 então f''(x)<0. Houve mudança de sinal de positivo para negativo → ponto de inflexão.
  • Coordenadas dos pontos de inflexão (avaliando f): f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0,\qquad f\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=0.Logo os pontos de inflexão são \left(\tfrac{\pi}{2},0\right) e \left(\tfrac{3\pi}{2},0\right).

Resposta

Concavidade para cima: \left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right)
Concavidade para baixo: \,[0,\tfrac{\pi}{2})\cup\left(\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\,
Pontos de inflexão: \left(\tfrac{\pi}{2},0\right) e \left(\tfrac{3\pi}{2},0\right)

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