Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão das seguintes funções:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos à mão.
- Função dada:
definida no intervalo . - Perguntas:
- Determinar os intervalos onde
é côncava para cima. - Determinar os intervalos onde
é côncava para baixo. - Encontrar os pontos de inflexão no intervalo
.
- Determinar os intervalos onde
Informações relevantes extraídas do enunciado: a função trigonométrica
está definida em todo o intervalo
e é duas vezes diferenciável nesse intervalo (logo podemos usar a segunda derivada para estudar concavidade).
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (mini-aula rápida e prática).
- Definição prática de concavidade usando a segunda derivada:
- Se
em um intervalo, então é côncava para cima nesse intervalo. - Se
em um intervalo, então é côncava para baixo nesse intervalo.
- Se
- Ponto de inflexão:
- Um ponto
é ponto de inflexão se (ou não existe) e ocorre mudança de sinal de ao passar por .
- Um ponto
- Estratégia prática:
- Calcular
e . - Resolver
e no intervalo dado. - Resolver
e verificar mudança de sinal para confirmar pontos de inflexão.
- Calcular
Passo 3
Calcular as derivadas — passo a passo e por que.
- Regra usada: derivada de
é ; derivada de é . - Aplicando:
Expliquei as fórmulas:
e
são funções conhecidas; as regras de derivação são padrões (derivada de
é
, de
é
).
Passo 4
Estudar o sinal de
usando o círculo trigonométrico (onde
é positivo/negativo).
- Queremos onde
(concavidade para cima) e onde (concavidade para baixo). - Reescrever as desigualdades:
-
. -
.
-
- Conhecimento básico sobre
no intervalo : -
(positivo) em e em ; também e . -
(negativo) em . -
em e em .
-
Esses intervalos vêm direto do círculo trigonométrico:
é coordenada
do ponto na circunferência; é positiva nos quadrantes I e IV e negativa no quadrante II e III.
Passo 5
Determinar explicitamente os intervalos de concavidade com base no sinal encontrado.
- Concavidade para cima: exigimos
. No intervalo dado isso acontece em Ou seja, é côncava para cima nesse intervalo aberto. - Concavidade para baixo: exigimos
. No intervalo dado isso acontece em Observação didática: em e temos e , então a concavidade para baixo também vale nesses pontos extremos; por isso incluí os extremos com colchete. Nos pontos e temos , não se coloca esses pontos nos intervalos abertos de concavidade.
Passo 6
Encontrar e verificar os pontos de inflexão.
- Primeiro resolver
: - Verificar mudança de sinal de
: - Em
: para pequeno, então ; para pequeno, então . Houve mudança de sinal de negativo para positivo → ponto de inflexão. - Em
: para próximo, então ; para próximo, então . Houve mudança de sinal de positivo para negativo → ponto de inflexão.
- Em
- Coordenadas dos pontos de inflexão (avaliando
): Logo os pontos de inflexão são e .
Resposta
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Pontos de inflexão:
e