Determine, justificando, se o conjunto
é limitado superiormente (inferiormente) e se admite elemento máximo (mínimo) nos casos:
Passo 1
O enunciado define o conjunto
Perguntas que precisamos responder (cada uma deve ser justificada):
-
é limitada superiormente? -
é limitada inferiormente? -
admite elemento máximo? -
admite elemento mínimo?
Os dados relevantes: o conjunto é formado por inteiros
que satisfazem a desigualdade
.
Passo 2
Primeiro, definimos com clareza os conceitos que vamos usar (eu explico como se a matéria fosse nova, passo a passo).
- Dizemos que um conjunto
é limitado superiormente se existe um número real tal que para todo temos . Esse é uma cota superior. Se não existir tal , o conjunto não é limitado superiormente. - Dizemos que
é limitado inferiormente se existe um tal que para todo temos . Esse é uma cota inferior. Se não existir tal , o conjunto não é limitado inferiormente. - Um elemento máximo de
é um elemento tal que para todo tem-se . Ou seja, é o maior elemento do conjunto (se existir). - Um elemento mínimo de
é um elemento tal que para todo tem-se .
Observação importante: para haver elemento máximo é necessário (mas não suficiente) que o conjunto seja limitado superiormente; analogamente para o mínimo é necessária uma cota inferior.
Passo 3
Agora resolvemos a desigualdade
. Lembre que
com
é equivalente a
ou
. Aplicando com
e
temos as duas possibilidades:
ou
Vou resolver cada uma com calma, lembrando que ao dividir uma desigualdade por um número negativo a desigualdade se inverte (isso é crucial).
Primeira desigualdade:
Subtraindo
dos dois lados:
Dividindo por
(número negativo) invertemos a desigualdade:
Segunda desigualdade:
Subtraindo
dos dois lados:
Dividindo por
(invertemos a desigualdade):
Passo 4
Agora traduzimos essas desigualdades para inteiros, porque
.
- De
e segue que (os inteiros que satisfazem são ). - De
temos ; como é inteiro, isso equivale a (os inteiros que satisfazem são ).
Portanto podemos reescrever o conjunto
como
Em palavras:
é a união de duas “caudas” infinitas dos inteiros — todos os inteiros menores ou iguais a
e todos os inteiros maiores ou iguais a
. Exemplos de elementos de
são
.
Passo 5
Analisando a limitada superior:
- Como
contém todos os inteiros , para qualquer número real podemos escolher um inteiro com (os inteiros não têm maior limite). Assim não existe cota superior que satisfaça para todo . Conclusão: não é limitada superiormente.
Analisando a limitada inferior:
- Como
contém todos os inteiros , para qualquer número real podemos escolher um inteiro com (podemos ir tão negativo quanto quisermos). Logo não existe cota inferior válida para todo . Conclusão: não é limitada inferiormente.
Passo 6
Analisando existência de elemento máximo e mínimo:
- Elemento máximo: suponha que exista um maior elemento
. Como contém todos os inteiros , qualquer candidato teria e , contradizendo ser máximo. Logo não existe elemento máximo em . - Elemento mínimo: suponha que exista um menor elemento
. Como contém todos os inteiros , qualquer candidato teria e , contradizendo ser mínimo. Logo não existe elemento mínimo em .