Determine, justificando, se o conjunto A é limitado superiormente (inferiormente) e se admite elemento máximo (mínimo) nos casos:
A=\{z \in \mathbb{Z}:|4-3 z|>7\}

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A=\{z\in\mathbb{Z} \mid |4-3z|>7\}.
Perguntas que precisamos responder (cada uma deve ser justificada):
  1. A é limitada superiormente?
  2. A é limitada inferiormente?
  3. A admite elemento máximo?
  4. A admite elemento mínimo?
Os dados relevantes: o conjunto é formado por inteiros z que satisfazem a desigualdade |4-3z|>7.

Passo 2

Primeiro, definimos com clareza os conceitos que vamos usar (eu explico como se a matéria fosse nova, passo a passo).
  • Dizemos que um conjunto S\subset\mathbb{R} é limitado superiormente se existe um número real M tal que para todo x\in S temos x\le M. Esse M é uma cota superior. Se não existir tal M, o conjunto não é limitado superiormente.
  • Dizemos que S é limitado inferiormente se existe um m tal que para todo x\in S temos x\ge m. Esse m é uma cota inferior. Se não existir tal m, o conjunto não é limitado inferiormente.
  • Um elemento máximo de S é um elemento x_{\max}\in S tal que para todo x\in S tem-se x\le x_{\max}. Ou seja, é o maior elemento do conjunto (se existir).
  • Um elemento mínimo de S é um elemento x_{\min}\in S tal que para todo x\in S tem-se x\ge x_{\min}.
Observação importante: para haver elemento máximo é necessário (mas não suficiente) que o conjunto seja limitado superiormente; analogamente para o mínimo é necessária uma cota inferior.

Passo 3

Agora resolvemos a desigualdade |4-3z|>7. Lembre que |u|>a com a>0 é equivalente a u>a ou u<-a. Aplicando com u=4-3z e a=7 temos as duas possibilidades:
4-3z>7
ou
4-3z< -7.
Vou resolver cada uma com calma, lembrando que ao dividir uma desigualdade por um número negativo a desigualdade se inverte (isso é crucial).
Primeira desigualdade:
4-3z>7.
Subtraindo 4 dos dois lados:
-3z>3.
Dividindo por -3 (número negativo) invertemos a desigualdade:
z< -1.
Segunda desigualdade:
4-3z< -7.
Subtraindo 4 dos dois lados:
-3z< -11.
Dividindo por -3 (invertemos a desigualdade):
z> \tfrac{11}{3}.

Passo 4

Agora traduzimos essas desigualdades para inteiros, porque z\in\mathbb{Z}.
  • De z< -1 e z\in\mathbb{Z} segue que z\le -2 (os inteiros que satisfazem z< -1 são \ldots,-4,-3,-2).
  • De z> \tfrac{11}{3} temos \tfrac{11}{3}\approx 3{,}666\ldots; como z é inteiro, isso equivale a z\ge 4 (os inteiros que satisfazem z>11/3 são 4,5,6,\ldots).
Portanto podemos reescrever o conjunto A como
A=\{z\in\mathbb{Z} \mid z\le -2\\ \text{ou}\\ z\ge 4\}.
Em palavras: A é a união de duas “caudas” infinitas dos inteiros — todos os inteiros menores ou iguais a -2 e todos os inteiros maiores ou iguais a 4. Exemplos de elementos de A são \ldots,-4,-3,-2,4,5,6,\ldots.

Passo 5

Analisando a limitada superior:
  • Como A contém todos os inteiros z\ge 4, para qualquer número real M podemos escolher um inteiro n\ge 4 com n>M (os inteiros não têm maior limite). Assim não existe cota superior M que satisfaça x\le M para todo x\in A. Conclusão: A não é limitada superiormente.
Analisando a limitada inferior:
  • Como A contém todos os inteiros z\le -2, para qualquer número real m podemos escolher um inteiro k\le -2 com k<m (podemos ir tão negativo quanto quisermos). Logo não existe cota inferior m válida para todo x\in A. Conclusão: A não é limitada inferiormente.

Passo 6

Analisando existência de elemento máximo e mínimo:
  • Elemento máximo: suponha que exista um maior elemento z_{\max}\in A. Como A contém todos os inteiros \ge 4, qualquer candidato z_{\max}\ge 4 teria z_{\max}+1\in A e z_{\max}+1>z_{\max}, contradizendo ser máximo. Logo não existe elemento máximo em A.
  • Elemento mínimo: suponha que exista um menor elemento z_{\min}\in A. Como A contém todos os inteiros \le -2, qualquer candidato z_{\min}\le -2 teria z_{\min}-1\in A e z_{\min}-1<z_{\min}, contradizendo ser mínimo. Logo não existe elemento mínimo em A.

Resposta

A não é limitada superiormente.
A não é limitada inferiormente.
A não admite elemento máximo.
A não admite elemento mínimo.

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