Determine, justificando, se o conjunto A é limitado superiormente (inferiormente) e se admite elemento máximo (mínimo) nos casos:
A=\{z \in \mathbb{Z}:||z|-1|<2\}

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine, com justificativa, se o conjunto
A=\{z\in\mathbb{Z}:\;||z|-1|<2\}
é limitado superiormente, se é limitado inferiormente, e se admite elemento máximo e elemento mínimo.
Informações dadas: o conjunto é formado por números inteiros z que satisfazem a desigualdade \;||z|-1|<2.

Passo 2

Vamos entender e manipular a desigualdade envolvendo valor absoluto. A propriedade básica que usamos é: para qualquer número real x e qualquer a>0,
|x-a|<b \quad\Longleftrightarrow\quad -b<x-a<b \quad\Longleftrightarrow\quad a-b<x<a+b.
Aqui tomamos x=|z|, a=1 e b=2. Aplicando a propriedade obtemos
-2<|z|-1<2.
Somando 1 em todas as partes da desigualdade:
-1<|z|<3.

Passo 3

Observe que |z| é sempre um número não negativo ( |z|\ge 0 para todo z\in\mathbb{Z}). A parte -1<|z| é, portanto, automática e não impõe restrição extra (qualquer |z|\ge 0 satisfaz -1<|z|). A restrição efetiva vem de
|z|<3.
Como z é inteiro, os únicos valores inteiros possíveis para |z| que satisfazem |z|<3 são |z|=0,1,2.

Passo 4

Agora traduzimos esses valores de |z| para os correspondentes z inteiros:
  • Se |z|=0, então z=0.
  • Se |z|=1, então z=1 ou z=-1.
  • Se |z|=2, então z=2 ou z=-2.
Logo os elementos possíveis de A são exatamente os inteiros
-2,\\\ -1,\\\ 0,\\\ 1,\\\ 2.
(O passo acima é só enumeração dos inteiros compatíveis com |z|<3.)

Passo 5

Agora vamos às definições que precisamos usar (explico devagar para ficar claro).
  • Dizemos que um conjunto S\subset\mathbb{R} é limitado superiormente se existe um número M\in\mathbb{R} tal que x\le M para todo x\in S. Esse M é chamado de uma cota superior.
  • Analogamente, S é limitado inferiormente se existe m\in\mathbb{R} tal que m\le x para todo x\in S. Esse m é uma cota inferior.
No nosso caso, como A é finito e seus elementos são -2,-1,0,1,2, qualquer número maior ou igual a 2 é uma cota superior (por exemplo M=2 funciona) e qualquer número menor ou igual a -2 é uma cota inferior (por exemplo m=-2 funciona). Portanto A é limitada superiormente e limitada inferiormente. (Comentário prático: qualquer conjunto finito de reais é sempre limitado.)

Passo 6

Definições de máximo e mínimo (também devagar):
  • Um elemento x_{\max}\in S é máximo de S se x\le x_{\max} para todo x\in S. Além disso, o máximo deve pertencer a S.
  • Um elemento x_{\min}\in S é mínimo de S se x_{\min}\le x para todo x\in S e também pertence a S.
No conjunto A identificado ( -2,-1,0,1,2), o maior elemento é 2 e ele pertence a A; portanto 2 é o máximo de A. O menor elemento é -2 e ele pertence a A; portanto -2 é o mínimo de A. Esses máximos e mínimos são únicos (se existirem, máximo e mínimo são únicos por definição do ordenamento total).

Resposta

A é limitada superiormente: sim.
A é limitada inferiormente: sim.
Admite elemento máximo: sim, máximo = 2.
Admite elemento mínimo: sim, mínimo = -2.

Exercícios relacionados