Determine, justificando, se o conjunto
é limitado superiormente (inferiormente) e se admite elemento máximo (mínimo) nos casos:
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine, com justificativa, se o conjunto
é limitado superiormente, se é limitado inferiormente, e se admite elemento máximo e elemento mínimo.
Informações dadas: o conjunto é formado por números inteiros que satisfazem a desigualdade
.
Informações dadas: o conjunto é formado por números inteiros
Passo 2
Vamos entender e manipular a desigualdade envolvendo valor absoluto. A propriedade básica que usamos é: para qualquer número real
e qualquer
,
Aqui tomamos
,
e
. Aplicando a propriedade obtemos
Somando
em todas as partes da desigualdade:
Passo 3
Observe que
é sempre um número não negativo (
para todo
). A parte
é, portanto, automática e não impõe restrição extra (qualquer
satisfaz
). A restrição efetiva vem de
Como
é inteiro, os únicos valores inteiros possíveis para
que satisfazem
são
.
Passo 4
Agora traduzimos esses valores de
para os correspondentes
inteiros:
- Se
, então . - Se
, então ou . - Se
, então ou .
Logo os elementos possíveis de
são exatamente os inteiros
(O passo acima é só enumeração dos inteiros compatíveis com
.)
Passo 5
Agora vamos às definições que precisamos usar (explico devagar para ficar claro).
- Dizemos que um conjunto
é limitado superiormente se existe um número tal que para todo . Esse é chamado de uma cota superior. - Analogamente,
é limitado inferiormente se existe tal que para todo . Esse é uma cota inferior.
No nosso caso, como
é finito e seus elementos são
, qualquer número maior ou igual a
é uma cota superior (por exemplo
funciona) e qualquer número menor ou igual a
é uma cota inferior (por exemplo
funciona). Portanto
é limitada superiormente e limitada inferiormente. (Comentário prático: qualquer conjunto finito de reais é sempre limitado.)
Passo 6
Definições de máximo e mínimo (também devagar):
- Um elemento
é máximo de se para todo . Além disso, o máximo deve pertencer a . - Um elemento
é mínimo de se para todo e também pertence a .
No conjunto
identificado (
), o maior elemento é
e ele pertence a
; portanto
é o máximo de
. O menor elemento é
e ele pertence a
; portanto
é o mínimo de
. Esses máximos e mínimos são únicos (se existirem, máximo e mínimo são únicos por definição do ordenamento total).
Resposta
A é limitada superiormente: sim.
A é limitada inferiormente: sim.
Admite elemento máximo: sim, máximo = .
Admite elemento mínimo: sim, mínimo = .
A é limitada inferiormente: sim.
Admite elemento máximo: sim, máximo =
Admite elemento mínimo: sim, mínimo =