Determine, justificando, se o conjunto
é limitado superiormente (inferiormente) e se admite elemento máximo (mínimo) nos casos:
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar, com justificativa, se o conjunto
é
- limitado superiormente;
- limitado inferiormente;
- se admite elemento máximo;
- se admite elemento mínimo.
Informação dada:
.
Ou seja, é o conjunto dos inteiros
que satisfazem a desigualdade
.
Ou seja,
Passo 2
Lembrando definições (úteis para justificar as respostas):
- Dizemos que um conjunto
é limitado superiormente se existe tal que, para todo , temos . Esse é uma cota superior (não precisa pertencer a ). - Dizemos que
é limitado inferiormente se existe tal que, para todo , temos . - Um elemento máximo de
é um elemento tal que, para todo , . - Um elemento mínimo de
é um elemento tal que, para todo , .
Vou encontrar explicitamente todos os inteiros
que satisfazem
; com a lista fechada de elementos fica fácil decidir sobre cotas e máximos/mínimos.
Passo 3
Estratégia para resolver a desigualdade com valor absoluto: dividir em casos onde as expressões dentro dos valores absolutos têm sinal conhecido. Como as expressões são
e
, os pontos críticos são
e
. Vou tratar os casos
-
, -
, -
.
Passo 4
Caso
. Então
e
. A desigualdade fica
Resolvendo:
Como
é inteiro e
, os
possíveis neste caso são
Passo 5
Caso
. Calculo direto:
logo
pertence a
.
Passo 6
Caso
. Então
e
. A soma é
Resolvendo:
Combinando com a hipótese
e lembrando que
é inteiro, obtemos
Passo 7
Juntando os três casos (Passos 4, 5 e 6) temos todos os inteiros que satisfazem a desigualdade:
(Como verificação rápida: para
temos
não satisfeito, e para
temos
também não satisfeito, então não há outros inteiros além dos listados.)
Passo 8
A partir da lista explícita de elementos de
podemos responder:
-
é finito (tem 8 elementos), logo é automaticamente limitado superiormente e limitado inferiormente. Podemos escolher como cota superior (pois para todo , ) e como cota inferior (pois para todo , ). - Como
e nenhum elemento de é maior que , é o máximo de : . - Como
e nenhum elemento de é menor que , é o mínimo de : .
Resposta
Limitada superiormente: sim (
).
Limitada inferiormente: sim ( ).
Admite máximo: sim, .
Admite mínimo: sim, .
Limitada inferiormente: sim (
Admite máximo: sim,
Admite mínimo: sim,