Determine, justificando, se o conjunto A é limitado superiormente (inferiormente) e se admite elemento máximo (mínimo) nos casos:
A=\{z \in \mathbb{Z}:|z|+|z+1|<9\}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar, com justificativa, se o conjunto A é
  • limitado superiormente;
  • limitado inferiormente;
  • se admite elemento máximo;
  • se admite elemento mínimo.
Informação dada: A=\{z \in \mathbb{Z}:\;|z|+|z+1|<9\}.
Ou seja, A é o conjunto dos inteiros z que satisfazem a desigualdade |z|+|z+1|<9.

Passo 2

Lembrando definições (úteis para justificar as respostas):
  • Dizemos que um conjunto A\subset\mathbb{R} é limitado superiormente se existe M\in\mathbb{R} tal que, para todo x\in A, temos x\le M. Esse M é uma cota superior (não precisa pertencer a A).
  • Dizemos que A é limitado inferiormente se existe m\in\mathbb{R} tal que, para todo x\in A, temos x\ge m.
  • Um elemento máximo de A é um elemento x_{\max}\in A tal que, para todo x\in A, x\le x_{\max}.
  • Um elemento mínimo de A é um elemento x_{\min}\in A tal que, para todo x\in A, x\ge x_{\min}.
Vou encontrar explicitamente todos os inteiros z que satisfazem |z|+|z+1|<9; com a lista fechada de elementos fica fácil decidir sobre cotas e máximos/mínimos.

Passo 3

Estratégia para resolver a desigualdade com valor absoluto: dividir em casos onde as expressões dentro dos valores absolutos têm sinal conhecido. Como as expressões são z e z+1, os pontos críticos são z= -1 e z=0. Vou tratar os casos
  • z\ge 0,
  • z=-1,
  • z\le -2.

Passo 4

Caso z\ge 0. Então |z|=z e |z+1|=z+1. A desigualdade fica
2z+1<9.
Resolvendo:
2z<8 \quad\Rightarrow\quad z<4.
Como z é inteiro e z\ge 0, os z possíveis neste caso são
z\in\{0,1,2,3\}.

Passo 5

Caso z=-1. Calculo direto:
|{-1}|+|{-1}+1| = 1 + 0 = 1 < 9,
logo z=-1 pertence a A.

Passo 6

Caso z\le -2. Então |z|=-z e |z+1|=-(z+1)=-z-1. A soma é
(-z) + (-z-1) = -2z-1 < 9.
Resolvendo:
-2z < 10 \quad\Rightarrow\quad z > -5.
Combinando com a hipótese z\le -2 e lembrando que z é inteiro, obtemos
z\in\{-4,-3,-2\}.

Passo 7

Juntando os três casos (Passos 4, 5 e 6) temos todos os inteiros que satisfazem a desigualdade:
A=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3\}.
(Como verificação rápida: para z=4 temos |4|+|5|=9 não satisfeito, e para z=-5 temos |-5|+|-4|=9 também não satisfeito, então não há outros inteiros além dos listados.)

Passo 8

A partir da lista explícita de elementos de A podemos responder:
  • A é finito (tem 8 elementos), logo é automaticamente limitado superiormente e limitado inferiormente. Podemos escolher como cota superior M=3 (pois para todo x\in A, x\le 3) e como cota inferior m=-4 (pois para todo x\in A, x\ge -4).
  • Como 3\in A e nenhum elemento de A é maior que 3, 3 é o máximo de A: \max A=3.
  • Como -4\in A e nenhum elemento de A é menor que -4, -4 é o mínimo de A: \min A=-4.

Resposta

Limitada superiormente: sim ( \,M=3\,).
Limitada inferiormente: sim ( \,m=-4\,).
Admite máximo: sim, \max A=3.
Admite mínimo: sim, \min A=-4.

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