Determine, justificando, se o conjunto A é limitado superiormente (inferiormente) e se admite elemento máximo (mínimo) nos casos: A=\left\{z \in \mathbb{Z}:\left|z^{2}-4\right| \geq-2 z+4\right\}
Passo 1
O enunciado pede que eu verifique, com justificativa, se o conjunto
A=\{z\in\mathbb{Z}:\;|z^{2}-4|\ge -2z+4\}
é limitado superiormente e limitado inferiormente, e também se admite elemento máximo e elemento mínimo.
Informações dadas relevantes:
A variável z varia em \mathbb{Z} (apenas inteiros).
A condição de pertença é a desigualdade com valor absoluto |z^{2}-4|\ge -2z+4.
A resolução começará a partir da análise dessa desigualdade.
Passo 2
Observação útil sobre desigualdade com valor absoluto: se eu tenho |X|\ge Y, há dois casos:
se Y\le 0 então |X|\ge Y é verdadeira para todo X (porque |X|\ge 0\ge Y);
se Y>0 então |X|\ge Y equivale a X\ge Y ou X\le -Y.
Aqui X=z^{2}-4 e Y=-2z+4. Vou estudar primeiro o sinal de Y.
Passo 3
Estudo do sinal de Y=-2z+4.
-2z+4\le 0 \iff -2z \le -4 \iff z\ge 2.
Portanto, para todo z\in\mathbb{Z} com z\ge 2 temos Y\le 0, e assim a desigualdade |z^{2}-4|\ge -2z+4 é automaticamente verdadeira para todos esses z. Conclusão parcial:
\text{Se }z\ge 2\text{ então }z\in A.ã
Passo 4
Agora trato o caso z<2, onde Y=-2z+4>0. Nesse caso uso a equivalência |X|\ge Y \iff X\ge Y \text{ ou } X\le -Y. Substituindo X=z^{2}-4 e Y=-2z+4 obtenho as duas desigualdades:
\text{(i)}\quad z^{2}-4 \ge -2z+4
ou
\text{(ii)}\quad z^{2}-4 \le -(-2z+4)=2z-4.
Passo 5
Resolvendo a desigualdade (i):
z^{2}-4 \ge -2z+4 \iff z^{2}+2z-8\ge 0.
Vou fatorar o polinômio:
z^{2}+2z-8=(z+4)(z-2).
A inequação (z+4)(z-2)\ge 0 tem solução (no conjunto dos reais, e portanto também nos inteiros) dada por
z\le -4 \quad\text{ou}\quad z\ge 2.
Mas lembro que, neste ramo da análise, já estou assumindo z<2. Assim, da (i) obtém-se para z<2 a solução
A=\{z\in\mathbb{Z}:\; z\le -4 \text{ ou } z\ge 0\},
ou seja, todos os inteiros exceto -3,-2,-1.
Passo 8
Agora tiro as conclusões pedidas sobre limites e extremos, usando a descrição de A.
Limite superior: A contém todos os inteiros z\ge 0 (em particular todos os inteiros z\ge 2), portanto há elementos arbitrariamente grandes em A. Logo A não é limitado superiormente.
Elemento máximo: se um conjunto não é limitado superiormente, ele não pode ter elemento máximo. Logo A não admite elemento máximo.
Limite inferior: A contém todos os inteiros z\le -4, portanto há elementos arbitrariamente pequenos (negativos de grande módulo). Logo A não é limitado inferiormente.
Elemento mínimo: se um conjunto não é limitado inferiormente, ele não pode ter elemento mínimo. Logo A não admite elemento mínimo.
Resposta
A=\{z\in\mathbb{Z}:\; z\le -4 \text{ ou } z\ge 0\} (equivalente a \mathbb{Z}\setminus\{-3,-2,-1\}).\n
Não é limitado superiormente.\n
Não é limitado inferiormente.\n
Não admite elemento máximo.\n
Não admite elemento mínimo.