Determine, justificando, se o conjunto A é limitado superiormente (inferiormente) e se admite elemento máximo (mínimo) nos casos:
A=\{z \in \mathbb{Z}:|z+2| \leq-z\} \cap
\left{z \in \mathbb{Z}: z^{2}>13\right}$

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
A=\{z\in\mathbb{Z}:\;|z+2|\le -z\}\cap\{z\in\mathbb{Z}:\;z^{2}>13\}.
Perguntas a responder (cada uma justificada):
  1. A é limitado superiormente?
  2. A é limitado inferiormente?
  3. A admite elemento máximo? (se sim, qual)
  4. A admite elemento mínimo? (se sim, qual)
Informações relevantes dadas:
  • Os elementos são inteiros: z\in\mathbb{Z}.
  • Duas condições ligadas por interseção: |z+2|\le -z e z^{2}>13.

Passo 2

Vamos analisar a primeira condição isoladamente:
\{z\in\mathbb{Z}:\;|z+2|\le -z\}.
Observação importante: a desigualdade |z+2|\le -z só pode fazer sentido se o lado direito for não negativo. Então primeiro exigimos
-z\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad z\le 0.
Logo qualquer solução deve satisfazer z\le 0. Agora resolvemos a desigualdade por casos do valor absoluto.

Passo 3

Resolver |z+2|\le -z por casos:
Caso A: z+2\ge 0 (ou seja z\ge -2). Combinando com z\le 0 obtemos -2\le z\le 0. Nesta região temos |z+2|=z+2. A desigualdade vira
z+2\le -z \quad\Longleftrightarrow\quad 2z\le -2 \quad\Longleftrightarrow\quad z\le -1.
Interseção com -2\le z\le 0 z=-2 ou z=-1.
Caso B: z+2<0 (ou seja z<-2). Então |z+2|=-(z+2)=-z-2. A desigualdade fica
-z-2\le -z \quad\Longleftrightarrow\quad -2\le 0,
que é verdadeira para todos os z desse caso. Lembrando que também precisamos de z\le 0, mas z<-2 já garante isso. Portanto todo inteiro z\le -3 satisfaz a desigualdade.
Juntando os casos, os inteiros que satisfazem |z+2|\le -z são
\{z\in\mathbb{Z}:\;z\le -1\}.
(veja: inclui z=-1,-2,-3,\dots)

Passo 4

Agora analisamos a segunda condição:
\{z\in\mathbb{Z}:\;z^{2}>13\}.
Interpretando z^{2}>13 em inteiros: |z|>\sqrt{13}. Como \sqrt{13}\approx 3{,}605, os inteiros com módulo maior que \sqrt{13} são aqueles com |z|\ge 4. Assim
\{z\in\mathbb{Z}:\;z^{2}>13\}=\{z\in\mathbb{Z}:\;z\le -4\}\cup\{z\in\mathbb{Z}:\;z\ge 4\}.

Passo 5

Fazemos agora a interseção das duas condições para obter A:
A=\{z\in\mathbb{Z}:\;z\le -1\}\cap\big(\{z\le -4\}\cup\{z\ge 4\}\big).
Interseção com \{z\ge 4\} não produz nada porque \{z\le -1\} e \{z\ge 4\} são disjuntas. A interseção relevante é com \{z\le -4\}. Logo
A=\{z\in\mathbb{Z}:\;z\le -4\}.
Em palavras: A é o conjunto de todos os inteiros menores ou iguais a -4: \dots,-6,-5,-4.

Passo 6

Definições rápidas (para justificar com clareza):
  • Um conjunto S é limitado superiormente se existe M\in\mathbb{R} tal que x\le M para todo x\in S. Esse M chama-se uma cota superior.
  • Um conjunto S é limitado inferiormente se existe m\in\mathbb{R} tal que x\ge m para todo x\in S. Esse m é uma cota inferior.
  • Elemento máximo de S é um elemento x_{\max}\in S tal que x\le x_{\max} para todo x\in S.
  • Elemento mínimo de S é x_{\min}\in S tal que x\ge x_{\min} para todo x\in S.
Aplicando essas definições a A=\{z\in\mathbb{Z}:\;z\le -4\}:
  1. Limitado superiormente? Sim. Tome M=-4. Para todo z\in A temos z\le -4=M. Logo M=-4 é uma cota superior. Observação: há outras cotas superiores (por exemplo -3,0,100), mas a menor cota superior que pertence ao conjunto é exatamente -4.
  2. Elemento máximo? Sim. Como -4\in A e todo z\in A satisfaz z\le -4, temos que -4 é o maior elemento de A. Logo \max A = -4.
  3. Limitado inferiormente? Não. Se existisse uma cota inferior m tal que z\ge m para todo z\in A, então em particular m precisaria ser \le a menor elemento de A. Mas A contém todos os inteiros arbitrariamente negativos (por exemplo m-1\in A se escolhermos m fixo), ou seja, para qualquer candidato m existe z\in A com z<m. Formalmente: dado qualquer m\in\mathbb{R}, escolha z\in\mathbb{Z} com z\le \lfloor m\rfloor-1; tal z pertence a A e tem z<m. Assim não existe cota inferior; A é ilimitado inferiormente.
  4. Elemento mínimo? Não. Como não há cota inferior, não existe menor elemento; para qualquer w\in A há um z\in A com z<w (por exemplo z=w-1). Portanto A não tem mínimo.

Resposta

Limitado superiormente: Sim; admite máximo -4.
Limitado inferiormente: Não; não admite mínimo.

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