Determine, justificando, se o conjunto
é limitado superiormente (inferiormente) e se admite elemento máximo (mínimo) nos casos:
\left{z \in \mathbb{Z}: z^{2}>13\right}$
\left{z \in \mathbb{Z}: z^{2}>13\right}$
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
Perguntas a responder (cada uma justificada):
-
é limitado superiormente? -
é limitado inferiormente? -
admite elemento máximo? (se sim, qual) -
admite elemento mínimo? (se sim, qual)
Informações relevantes dadas:
- Os elementos são inteiros:
. - Duas condições ligadas por interseção:
e .
Passo 2
Vamos analisar a primeira condição isoladamente:
Observação importante: a desigualdade
só pode fazer sentido se o lado direito for não negativo. Então primeiro exigimos
Logo qualquer solução deve satisfazer
. Agora resolvemos a desigualdade por casos do valor absoluto.
Passo 3
Resolver
por casos:
Caso A:
(ou seja
). Combinando com
obtemos
. Nesta região temos
. A desigualdade vira
Interseção com
dá
ou
.
Caso B:
(ou seja
). Então
. A desigualdade fica
que é verdadeira para todos os
desse caso. Lembrando que também precisamos de
, mas
já garante isso. Portanto todo inteiro
satisfaz a desigualdade.
Juntando os casos, os inteiros que satisfazem
são
(veja: inclui
)
Passo 4
Agora analisamos a segunda condição:
Interpretando
em inteiros:
. Como
, os inteiros com módulo maior que
são aqueles com
. Assim
Passo 5
Fazemos agora a interseção das duas condições para obter
:
Interseção com
não produz nada porque
e
são disjuntas. A interseção relevante é com
. Logo
Em palavras:
é o conjunto de todos os inteiros menores ou iguais a
:
.
Passo 6
Definições rápidas (para justificar com clareza):
- Um conjunto
é limitado superiormente se existe tal que para todo . Esse chama-se uma cota superior. - Um conjunto
é limitado inferiormente se existe tal que para todo . Esse é uma cota inferior. - Elemento máximo de
é um elemento tal que para todo . - Elemento mínimo de
é tal que para todo .
Aplicando essas definições a
:
-
Limitado superiormente? Sim. Tome
. Para todo temos . Logo é uma cota superior. Observação: há outras cotas superiores (por exemplo ), mas a menor cota superior que pertence ao conjunto é exatamente . -
Elemento máximo? Sim. Como
e todo satisfaz , temos que é o maior elemento de . Logo . -
Limitado inferiormente? Não. Se existisse uma cota inferior
tal que para todo , então em particular precisaria ser a menor elemento de . Mas contém todos os inteiros arbitrariamente negativos (por exemplo se escolhermos fixo), ou seja, para qualquer candidato existe com . Formalmente: dado qualquer , escolha com ; tal pertence a e tem . Assim não existe cota inferior; é ilimitado inferiormente. -
Elemento mínimo? Não. Como não há cota inferior, não existe menor elemento; para qualquer
há um com (por exemplo ). Portanto não tem mínimo.
Resposta
Limitado superiormente: Sim; admite máximo
.
Limitado inferiormente: Não; não admite mínimo.
Limitado inferiormente: Não; não admite mínimo.