Determine os limites se existirem:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a expressão é uma potência cujo expoente é
e a base tende para
quando
(porque
). Preciso decidir se o valor dessa potência converge para um número finito, converge para
ou diverge para
.
Passo 2
Ideia de resolução (sem calcular ainda): para limites do tipo
é muito útil tomar o logaritmo natural. Se eu chamar
então trabalho com
, calculo o limite de
quando
e depois exponencio para voltar a
. Isso é útil porque
e agora posso estudar o comportamento desse produto.
Passo 3
Usar um limite padrão para simplificar
. Vamos analisar o quociente
É um limite clássico que vale
. Uma forma rápida de ver isso é aplicar a Regra de L’Hôpital: quando
temos forma
e
Agora faça a substituição
. Quando
temos
. Portanto
Passo 4
A partir do passo anterior, calcule o limite de
. Note que
Pelo resultado do passo 3, o primeiro fator tende a
, logo
Passo 5
Usar o resultado anterior para estudar
. Escreve-se
Do passo 4 sabemos que
quando
. Sendo essa quantidade tendendo a um número positivo
, para
suficientemente grande ela fica, por exemplo, maior que
. Assim, para
grande,
e como
implica
, concluímos que
Passo 6
Concluir sobre
. Se
, então
. Portanto a potência original diverge para
.