Determine os limites se existirem:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{2 x}\right)^{x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{x^{2}}.
Informações dadas: a expressão é uma potência cujo expoente é x^{2} e a base tende para 1 quando x\to+\infty (porque \tfrac{1}{2x}\to0). Preciso decidir se o valor dessa potência converge para um número finito, converge para 0 ou diverge para +\infty.

Passo 2

Ideia de resolução (sem calcular ainda): para limites do tipo \left(1+\text{pequeno}\right)^{\text{grande}} é muito útil tomar o logaritmo natural. Se eu chamar
y=\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{x^{2}},
então trabalho com \ln y, calculo o limite de \ln y quando x\to+\infty e depois exponencio para voltar a y. Isso é útil porque
\ln y = x^{2}\ln\!\left(1+\frac{1}{2x}\right),
e agora posso estudar o comportamento desse produto.

Passo 3

Usar um limite padrão para simplificar \ln\!\left(1+\frac{1}{2x}\right). Vamos analisar o quociente
\frac{\ln(1+t)}{t}\quad\text{quando }t\to0.
É um limite clássico que vale 1. Uma forma rápida de ver isso é aplicar a Regra de L’Hôpital: quando t\to0 temos forma 0/0 e
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=\lim_{t\to0}\frac{\frac{d}{dt}\ln(1+t)}{\frac{d}{dt}t}=\lim_{t\to0}\frac{1}{1+t}=1.
Agora faça a substituição t=\dfrac{1}{2x}. Quando x\to+\infty temos t\to0. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{1}{2x}\right)}{\dfrac{1}{2x}}=1.

Passo 4

A partir do passo anterior, calcule o limite de x\ln\!\left(1+\dfrac{1}{2x}\right). Note que
x\ln\!\left(1+\frac{1}{2x}\right) =\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{1}{2x}\right)}{\dfrac{1}{x}} =\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{1}{2x}\right)}{\dfrac{1}{2x}}\cdot\frac{1}{2}.
Pelo resultado do passo 3, o primeiro fator tende a 1, logo
\lim_{x\to+\infty}x\ln\!\left(1+\frac{1}{2x}\right)=\frac{1}{2}.

Passo 5

Usar o resultado anterior para estudar \ln y. Escreve-se
\ln y = x^{2}\ln\!\left(1+\frac{1}{2x}\right)=x\cdot\biggl(x\ln\!\left(1+\frac{1}{2x}\right)\biggr).
Do passo 4 sabemos que x\ln\!\left(1+\dfrac{1}{2x}\right)\to\dfrac{1}{2} quando x\to+\infty. Sendo essa quantidade tendendo a um número positivo \tfrac{1}{2}, para x suficientemente grande ela fica, por exemplo, maior que \tfrac{1}{4}. Assim, para x grande,
\ln y \ge x\cdot\frac{1}{4},
e como x\to+\infty implica x\cdot\frac{1}{4}\to+\infty, concluímos que
\ln y \to +\infty\quad\text{quando }x\to+\infty.

Passo 6

Concluir sobre y. Se \ln y \to +\infty, então y=\mathrm{e}^{\ln y}\to+\infty. Portanto a potência original diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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