Determine o maior subconjunto de
para o qual as seguintes funções são contínuas e justifique.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar o maior subconjunto de
para o qual
é contínua, com justificativa.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - A função logaritmo natural
aparece aplicada ao argumento . - É necessário encontrar o maior subconjunto de
onde a função é contínua (ou seja, o domínio de continuidade maximal).
Passo 2
Recordando a definição de continuidade (de um jeito direto): uma função
é contínua em um ponto
se
Uma função é contínua em um conjunto
se for contínua em todo ponto
. Então, para achar o maior subconjunto onde
é contínua precisamos:
- determinar os pontos onde
está definida (domínio real da função), e - verificar que em todos esses pontos a função é de fato contínua.
Passo 3
Propriedades fundamentais que vamos usar (explicadas de forma simples):
- A função identidade deslocada
é uma função linear. Funções lineares são contínuas em todo . Intuitivamente: pequenas mudanças em produzem pequenas mudanças em . - A função
(logaritmo natural) está definida apenas para argumentos positivos, isto é, seu domínio natural é . Uma razão rápida: é a inversa da função exponencial , então só aceita valores em . - Além disso,
é contínua em todo ponto do seu domínio . Uma justificativa comum: é contínua e bijetora em para , e a inversa de uma função contínua e estritamente monotona é contínua; ou simplesmente observar que é diferenciável em (com derivada ), e diferenciabilidade implica continuidade.
Passo 4
Determinar onde
está definida (domínio real da função). Como
, o argumento do
precisa ser positivo:
Resolvendo essa desigualdade:
Portanto a função
não está definida para
. Concluímos que o domínio (conjunto de definição) de
é
.
Passo 5
Agora justificar a continuidade em todo ponto do domínio
.
Escolha um ponto arbitrário
tal que
. Então
, ou seja,
— ponto onde
é definida e contínua. Considere as duas funções:
Tem-se
. Sabemos:
-
é contínua em todo (é linear). -
é contínua em todo .
Pelo teorema da composição de funções contínuas: seé contínua em e é contínua em , então é contínua em . Aplicando isto, é contínua em . Como foi arbitrário, é contínua em todo .
Um argumento equivalente usando limites: para
,
onde a troca do limite com
é válida porque
é contínua em
.
Passo 6
Mostrar que
é o maior (ou maximal) subconjunto de
onde
é contínua.
- Para qualquer
o valor é , e não está definida em números . Logo não é nem sequer definida em pontos com , portanto não pode ser contínua nesses pontos. - Consequentemente não existe nenhum subconjunto maior que contenha pontos
onde seja real e contínua. Assim é o maior subconjunto de onde é contínua.
Passo 7
Um comentário prático e um exemplo parecido para fixar a ideia (fica como dica para a prova): sempre que aparecer
de alguma expressão
, primeiro imponha
para achar o domínio; em seguida use que
é contínua no seu domínio e que polinômios/linéares são contínuos — então a composição é contínua em todo ponto do domínio. Exemplo rápido:
é contínua em
.