Determine o maior subconjunto de \mathbb{R} para o qual as seguintes funções são contínuas e justifique.
R(x)=\ln (x-5).

Passo 1

O enunciado dá a função R(x)=\ln(x-5) e pede: determinar o maior subconjunto de \mathbb{R} para o qual R é contínua, com justificativa.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é R(x)=\ln(x-5).
  • A função logaritmo natural \ln(\cdot) aparece aplicada ao argumento x-5.
  • É necessário encontrar o maior subconjunto de \mathbb{R} onde a função é contínua (ou seja, o domínio de continuidade maximal).

Passo 2

Recordando a definição de continuidade (de um jeito direto): uma função f é contínua em um ponto a se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Uma função é contínua em um conjunto A se for contínua em todo ponto a\in A. Então, para achar o maior subconjunto onde R é contínua precisamos:
  • determinar os pontos onde R está definida (domínio real da função), e
  • verificar que em todos esses pontos a função é de fato contínua.

Passo 3

Propriedades fundamentais que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • A função identidade deslocada g(x)=x-5 é uma função linear. Funções lineares são contínuas em todo \mathbb{R}. Intuitivamente: pequenas mudanças em x produzem pequenas mudanças em x-5.
  • A função \ln(y) (logaritmo natural) está definida apenas para argumentos positivos, isto é, seu domínio natural é (0,\infty). Uma razão rápida: \ln é a inversa da função exponencial \exp:\mathbb{R}\to(0,\infty), então \ln só aceita valores em (0,\infty).
  • Além disso, \ln é contínua em todo ponto do seu domínio (0,\infty). Uma justificativa comum: \exp é contínua e bijetora em \mathbb{R} para (0,\infty), e a inversa de uma função contínua e estritamente monotona é contínua; ou simplesmente observar que \ln é diferenciável em (0,\infty) (com derivada 1/y), e diferenciabilidade implica continuidade.

Passo 4

Determinar onde R(x) está definida (domínio real da função). Como R(x)=\ln(x-5), o argumento do \ln precisa ser positivo:
x-5>0.
Resolvendo essa desigualdade:
x>5.
Portanto a função R não está definida para x\le 5. Concluímos que o domínio (conjunto de definição) de R é (5,\infty).

Passo 5

Agora justificar a continuidade em todo ponto do domínio (5,\infty).
Escolha um ponto arbitrário a tal que a>5. Então a-5>0, ou seja, a-5\in(0,\infty) — ponto onde \ln é definida e contínua. Considere as duas funções:
g(x)=x-5,\qquad f(y)=\ln(y).
Tem-se R(x)=f(g(x))= (\ln)\circ (x-5). Sabemos:
  • g é contínua em todo \mathbb{R} (é linear).
  • f=\ln é contínua em todo (0,\infty).
    Pelo teorema da composição de funções contínuas: se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então f\circ g é contínua em a. Aplicando isto, R é contínua em a. Como a>5 foi arbitrário, R é contínua em todo (5,\infty).
Um argumento equivalente usando limites: para a>5,
\lim_{x\to a} R(x)=\lim_{x\to a} \ln(x-5)=\ln\!\big(\lim_{x\to a}(x-5)\big)=\ln(a-5)=R(a),
onde a troca do limite com \ln é válida porque \ln é contínua em a-5>0.

Passo 6

Mostrar que (5,\infty) é o maior (ou maximal) subconjunto de \mathbb{R} onde R é contínua.
  • Para qualquer x\le 5 o valor x-5 é \le 0, e \ln não está definida em números \le 0. Logo R(x) não é nem sequer definida em pontos com x\le 5, portanto não pode ser contínua nesses pontos.
  • Consequentemente não existe nenhum subconjunto maior que contenha pontos \le 5 onde R seja real e contínua. Assim (5,\infty) é o maior subconjunto de \mathbb{R} onde R é contínua.

Passo 7

Um comentário prático e um exemplo parecido para fixar a ideia (fica como dica para a prova): sempre que aparecer \ln de alguma expressão h(x), primeiro imponha h(x)>0 para achar o domínio; em seguida use que \ln é contínua no seu domínio e que polinômios/linéares são contínuos — então a composição é contínua em todo ponto do domínio. Exemplo rápido: \ln(x+3) é contínua em (-3,\infty).

Resposta

(5,\infty)

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