Determine o maior subconjunto de
para o qual as seguintes funções são contínuas e justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede: determinar o maior subconjunto de
no qual
é contínua, com justificativa.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função contém o termo
, cuja definição exige que o argumento da raiz seja não negativo. - O termo
é um polinômio (definido para todo ). - Precisa-se justificar continuidade em todos os pontos do maior subconjunto possível de
.
Passo 2
Encontrar o domínio (conjunto de definição) da função: o radical impõe a condição
Resolvendo a desigualdade:
Portanto a função está definida exatamente para todos os
tais que
. Em notação de intervalo, o domínio é
Passo 3
Lembrando a definição prática de continuidade que vamos usar: uma função é contínua em um ponto
do seu domínio se o limite da função quando
tende a
(considerando apenas pontos do domínio) é igual ao valor da função em
. Para pontos interiores do domínio isso é o limite bilateral usual; para um extremidade do domínio (como
aqui) considera-se o limite unidirecional vindo de dentro do domínio (ou seja,
). Além disso, sabemos que:
- Polinômios (como
) são contínuos para todo . - Funções lineares (como
) são contínuas para todo . - A raiz quadrada
é contínua em seu domínio . - Soma e composição de funções contínuas (quando bem definidas) são contínuas.
Passo 4
Mostro continuidade em pontos interiores do domínio, isto é, em qualquer
.
Defina
e
. Temos:
-
é contínua em todo . - A função
é contínua em todo . Como é contínua em e para , a composição é contínua em . - Logo, em qualquer
ambos e são contínuos, e portanto é contínua em (soma de funções contínuas).
Assim,
é contínua em todo ponto interior do domínio
.
Passo 5
Falta verificar a continuidade em
, o ponto extremo do domínio. Primeiro calcule o valor da função nesse ponto:
Devemos verificar que
. Escrevemos
Quando
temos
, então
. Resta mostrar
quando
. Fazendo uma prova
-
simples: dado
, escolha
Se
então
portanto
Isso mostra que
quando
. Combinando com
, obtemos
Portanto
é contínua também em
(continuidade pelo lado direito, que é o único lado relevante porque à esquerda
não está definida).
Passo 6
Concluímos que
é contínua em todo ponto do seu domínio e que o domínio máximo onde
está definida e contínua é