Determine o maior subconjunto de \mathbb{R} para o qual as seguintes funções são contínuas e justifique.
T(x)=x^{2}+\sqrt{2 x-1}

Passo 1

O enunciado dá a função T:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
T(x)=x^{2}+\sqrt{2x-1},
e pede: determinar o maior subconjunto de \mathbb{R} no qual T é contínua, com justificativa.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função contém o termo \sqrt{2x-1}, cuja definição exige que o argumento da raiz seja não negativo.
  • O termo x^{2} é um polinômio (definido para todo x\in\mathbb{R}).
  • Precisa-se justificar continuidade em todos os pontos do maior subconjunto possível de \mathbb{R}.

Passo 2

Encontrar o domínio (conjunto de definição) da função: o radical impõe a condição
2x-1 \ge 0.
Resolvendo a desigualdade:
2x \ge 1 \quad\Rightarrow\quad x \ge \frac{1}{2}.
Portanto a função está definida exatamente para todos os x tais que x\ge\frac{1}{2}. Em notação de intervalo, o domínio é
\left[\frac{1}{2},\infty\right).

Passo 3

Lembrando a definição prática de continuidade que vamos usar: uma função é contínua em um ponto x_{0} do seu domínio se o limite da função quando x tende a x_{0} (considerando apenas pontos do domínio) é igual ao valor da função em x_{0}. Para pontos interiores do domínio isso é o limite bilateral usual; para um extremidade do domínio (como x_{0}=\tfrac{1}{2} aqui) considera-se o limite unidirecional vindo de dentro do domínio (ou seja, x\to\tfrac{1}{2}^{+}). Além disso, sabemos que:
  • Polinômios (como x\mapsto x^{2}) são contínuos para todo x\in\mathbb{R}.
  • Funções lineares (como x\mapsto 2x-1) são contínuas para todo x\in\mathbb{R}.
  • A raiz quadrada u\mapsto\sqrt{u} é contínua em seu domínio u\ge 0.
  • Soma e composição de funções contínuas (quando bem definidas) são contínuas.

Passo 4

Mostro continuidade em pontos interiores do domínio, isto é, em qualquer x_{0}>\tfrac{1}{2}.
Defina f(x)=x^{2} e g(x)=\sqrt{2x-1}. Temos:
  • f é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A função h(x)=2x-1 é contínua em todo \mathbb{R}. Como \sqrt{\cdot} é contínua em [0,\infty) e h(x_{0})=2x_{0}-1>0 para x_{0}>\tfrac{1}{2}, a composição g(x)=\sqrt{h(x)} é contínua em x_{0}.
  • Logo, em qualquer x_{0}>\tfrac{1}{2} ambos f e g são contínuos, e portanto T(x)=f(x)+g(x) é contínua em x_{0} (soma de funções contínuas).
Assim, T é contínua em todo ponto interior do domínio \left(\tfrac{1}{2},\infty\right).

Passo 5

Falta verificar a continuidade em x_{0}=\tfrac{1}{2}, o ponto extremo do domínio. Primeiro calcule o valor da função nesse ponto:
T\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\sqrt{2\cdot\tfrac{1}{2}-1}=\tfrac{1}{4}+\sqrt{0}=\tfrac{1}{4}.
Devemos verificar que \lim_{x\to\frac{1}{2}^{+}}T(x)=\tfrac{1}{4}. Escrevemos
T(x)-\tfrac{1}{4} = \bigl(x^{2}-\tfrac{1}{4}\bigr)+\sqrt{2x-1}.
Quando x\to\tfrac{1}{2}^{+} temos x^{2}\to\tfrac{1}{4}, então x^{2}-\tfrac{1}{4}\to 0. Resta mostrar \sqrt{2x-1}\to 0 quando x\to\tfrac{1}{2}^{+}. Fazendo uma prova \varepsilon- \delta simples: dado \varepsilon>0, escolha
\delta=\frac{\varepsilon^{2}}{2}.
Se 0<x-\tfrac{1}{2}<\delta então
0<2x-1<2\delta=\varepsilon^{2},
portanto
0<\sqrt{2x-1}<\varepsilon.
Isso mostra que \sqrt{2x-1}\to 0 quando x\to\tfrac{1}{2}^{+}. Combinando com x^{2}\to\tfrac{1}{4}, obtemos
\lim_{x\to\frac{1}{2}^{+}}T(x)=\tfrac{1}{4}=T\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Portanto T é contínua também em x=\tfrac{1}{2} (continuidade pelo lado direito, que é o único lado relevante porque à esquerda T não está definida).

Passo 6

Concluímos que T é contínua em todo ponto do seu domínio e que o domínio máximo onde T está definida e contínua é
\left[\frac{1}{2},\infty\right).

Resposta

\left[\dfrac{1}{2},\infty\right)

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