Determine o maior subconjunto de
para o qual as seguintes funções são contínuas e justifique.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que se pede: determinar o maior subconjunto de
para o qual
é contínua e justificar por que é contínua nesse conjunto (e por que não é contínua nos outros pontos, se for o caso).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Uma função racional
só pode falhar em ser definida quando o denominador é zero (esses pontos precisam ser verificados). - Não há outras restrições apresentadas.
Passo 2
Encontrar onde o denominador se anula (esses pontos não pertencem ao domínio). Vamos fatorar o polinômio do denominador:
As raízes são os valores de
que tornam o denominador zero, ou seja,
e
.
Portanto, a função
não está definida em
e em
. Logo o domínio natural de
(conjunto de definição) é
ou, escrito como união de intervalos,
Passo 3
Relembrando uma propriedade importante (explicada de forma simples): polinômios são funções contínuas em todo
. Além disso, se
e
são funções contínuas num ponto
e
, então a função quociente
é contínua em
. Intuição: limites preservam soma, produto e quociente (quando denominador não zera), e continuidade é exatamente dizer que o limite quando
é igual ao valor no ponto.
Vou explicar essa propriedade com pouco formalismo, mas suficiente para a prova:
- Como polinômios são contínuos, para qualquer
valem e . - Se
é tal que (isto é, e ), então o limite do quociente existe e é o quociente dos limites:
- Como
é exatamente (a função está definida nesse ), concluímos . Isso é a definição de continuidade em .
Passo 4
Aplicando o raciocínio do passo anterior ao nosso caso: para todo
com
e
, tanto o numerador
quanto o denominador
são contínuos em
e o denominador não se anula em
. Portanto a função
é contínua em todo
desse tipo. Em outras palavras,
é contínua em todo ponto do domínio
.
Passo 5
O que ocorre em
e
? Esses pontos não pertencem ao domínio porque o denominador zera ali. Para ser contínua em um ponto, a função precisa primeiro estar definida nesse ponto; como
e
não existem,
não pode ser contínua nesses pontos. Além disso, analisando o comportamento das proximidades, os limites laterais tendem a
(há assíntotas verticais) — isto confirma que não há como estender
para torná-la contínua nesses pontos sem modificar a função. (Essa observação é adicional; a razão principal é que
não está definida nesses pontos.)
Conclusão final: a maior região (maior subconjunto de
) onde
é contínua é exatamente o domínio da função, ou seja, todos os reais exceto os pontos onde o denominador é zero.