Determine o maior subconjunto de \mathbb{R} para o qual as seguintes funções são contínuas e justifique.
F(x)=\frac{x}{x^{2}+5 x+6}.

Passo 1

O enunciado dá a função F definida por
F(x)=\frac{x}{x^{2}+5x+6}.
O que se pede: determinar o maior subconjunto de \mathbb{R} para o qual F é contínua e justificar por que é contínua nesse conjunto (e por que não é contínua nos outros pontos, se for o caso).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O numerador é x.
  • O denominador é x^{2}+5x+6.
  • Uma função racional \dfrac{\text{polinômio}}{\text{polinômio}}ôô só pode falhar em ser definida quando o denominador é zero (esses pontos precisam ser verificados).
  • Não há outras restrições apresentadas.

Passo 2

Encontrar onde o denominador se anula (esses pontos não pertencem ao domínio). Vamos fatorar o polinômio do denominador:
x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3).
As raízes são os valores de x que tornam o denominador zero, ou seja, x=-2 e x=-3.
Portanto, a função F não está definida em x=-2 e em x=-3. Logo o domínio natural de F (conjunto de definição) é
\mathbb{R}\setminus\{-3,-2\},
ou, escrito como união de intervalos,
(-\infty,-3)\cup(-3,-2)\cup(-2,\infty).

Passo 3

Relembrando uma propriedade importante (explicada de forma simples): polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Além disso, se g e h são funções contínuas num ponto a e h(a)\neq0, então a função quociente g/h é contínua em a. Intuição: limites preservam soma, produto e quociente (quando denominador não zera), e continuidade é exatamente dizer que o limite quando x\to a é igual ao valor no ponto.
Vou explicar essa propriedade com pouco formalismo, mas suficiente para a prova:
  • Como polinômios são contínuos, para qualquer a\in\mathbb{R} valem \lim_{x\to a}x=a e \lim_{x\to a}(x^{2}+5x+6)=a^{2}+5a+6.
  • Se a é tal que a^{2}+5a+6\neq0 (isto é, a\neq-3 e a\neq-2), então o limite do quociente existe e é o quociente dos limites:
\lim_{x\to a}\frac{x}{x^{2}+5x+6}=\frac{\lim_{x\to a}x}{\lim_{x\to a}(x^{2}+5x+6)}=\frac{a}{a^{2}+5a+6}.
  • Como F(a) é exatamente \dfrac{a}{a^{2}+5a+6} (a função está definida nesse a), concluímos \lim_{x\to a}F(x)=F(a). Isso é a definição de continuidade em a.

Passo 4

Aplicando o raciocínio do passo anterior ao nosso caso: para todo a\in\mathbb{R} com a\neq-3 e a\neq-2, tanto o numerador x\mapsto x quanto o denominador x\mapsto x^{2}+5x+6 são contínuos em a e o denominador não se anula em a. Portanto a função F é contínua em todo a desse tipo. Em outras palavras, F é contínua em todo ponto do domínio \mathbb{R}\setminus\{-3,-2\}.

Passo 5

O que ocorre em x=-3 e x=-2? Esses pontos não pertencem ao domínio porque o denominador zera ali. Para ser contínua em um ponto, a função precisa primeiro estar definida nesse ponto; como F(-3) e F(-2) não existem, F não pode ser contínua nesses pontos. Além disso, analisando o comportamento das proximidades, os limites laterais tendem a \pm\infty (há assíntotas verticais) — isto confirma que não há como estender F para torná-la contínua nesses pontos sem modificar a função. (Essa observação é adicional; a razão principal é que F não está definida nesses pontos.)
Conclusão final: a maior região (maior subconjunto de \mathbb{R}) onde F é contínua é exatamente o domínio da função, ou seja, todos os reais exceto os pontos onde o denominador é zero.

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{-3,-2\}

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