Determine o maior subconjunto de \mathbb{R} para o qual as seguintes funções são contínuas e justifique.
H(x)=\sqrt{1+\frac{1}{x}}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o maior subconjunto de \mathbb{R} onde a função
H(x)=\sqrt{1+\frac{1}{x}}
é contínua, e justificar a resposta.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função é definida por H(x)=\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}.
  • Há duas fontes potenciais de restrição no domínio: a expressão \dfrac{1}{x} (que exige x\neq0) e a raiz quadrada \sqrt{\cdot} (que exige que o radicando seja \ge 0).
  • O objetivo é encontrar o maior conjunto de x\in\mathbb{R} onde H está definida e, além disso, provar que H é contínua nesse conjunto.

Passo 2

Primeiro vamos achar o domínio (conjunto de definição) de H. Como já indiquei, duas condições simultâneas devem valer:
  1. x\neq 0 (porque \dfrac{1}{x} precisa estar definida).
  2. O radicando deve ser não-negativo:
1+\frac{1}{x}\ge 0.
Colocamos essas condições juntas para determinar os x permitidos.

Passo 3

Resolver a desigualdade
1+\frac{1}{x}\ge 0.
Reescrevo em uma única fração:
1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}.
Então precisamos de
\frac{x+1}{x}\ge 0.
A expressão \dfrac{x+1}{x} tem pontos críticos em x=-1 (numerador zero) e em x=0 (denominador zero, expressão não definida). Para resolver a desigualdade fazemos o estudo de sinais por intervalos determinados por -\infty,-1,0,\infty.

Passo 4

Análise de sinais (com exemplos fáceis para visualizar):
  • Para x>0 (por exemplo x=1): \dfrac{x+1}{x}=\dfrac{2}{1}>0. Logo a desigualdade é satisfeita em (0,\infty).
  • Para -1<x<0 (por exemplo x=-\tfrac{1}{2}): \dfrac{x+1}{x}=\dfrac{1/2}{-1/2}=-1<0. Logo a desigualdade não vale nesse intervalo.
  • Para x<-1 (por exemplo x=-2): \dfrac{x+1}{x}=\dfrac{-1}{-2}=+\tfrac{1}{2}>0. Logo a desigualdade vale em (-\infty,-1).
  • Em x=-1 temos \dfrac{x+1}{x}=0, então a desigualdade é satisfeita (igualdade permitida pelo \ge).
  • Em x=0 a expressão não está definida (portanto x=0 é excluído).
Portanto a solução da desigualdade é
(-\infty,-1]\\ \cup\\ (0,\infty).

Passo 5

Concluímos que o domínio de H é
D = (-\infty,-1]\\ \cup\\ (0,\infty).
Agora justifico a continuidade em todo esse domínio.
Teorema usado (em palavras simples): se g e h são funções contínuas em pontos apropriados, então combinações como g+h, g\cdot h, composição f\circ g etc. também são contínuas quando bem definidas. Em particular:
  • A função x\mapsto \dfrac{1}{x} é contínua em seu domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • A função x\mapsto 1+x é contínua em \mathbb{R}.
  • A função t\mapsto \sqrt{t} é contínua em [0,\infty).
Nossa função é a composição e soma dessas funções: primeiro x\mapsto \dfrac{1}{x} (contínua em x\neq0), depois soma 1+\dfrac{1}{x} (contínua onde a primeira é definida), e por fim aplicamos \sqrt{\cdot} (contínua para argumentos \ge0). Logo a composição é contínua em todos os pontos onde todas as etapas estão bem definidas, isto é, em todo D.

Passo 6

Verificação especial nos pontos-limite do domínio:
  • Para x\in(0,\infty) ou x\in(-\infty,-1) temos intervalos abertos do domínio, e a argumentação por composição garante continuidade usual nesses pontos.
  • Em x=-1 o radicando vale exatamente zero:
H(-1)=\sqrt{1+\frac{1}{-1}}=\sqrt{0}=0.
Como o domínio não contém pontos à direita imediata de -1 (o intervalo (-1,0) não pertence ao domínio), a continuidade em -1 é a continuidade relativa ao domínio: é preciso que \lim_{x\to -1,\,x\in D} H(x)=H(-1). A aproximação por pontos de D se faz pela esquerda (por exemplo x=-1.1,-1.01,\ldots), e nesses pontos 1+\dfrac{1}{x}>0 tende a 0, então H(x)\to 0=H(-1). Portanto H é contínua em -1 também.
Não há continuidade em x=0 porque 0\notin D (a função não está definida aí).

Passo 7

Conclusão: H está definida exatamente em D=(-\infty,-1]\cup(0,\infty) e, por ser composição de funções contínuas onde a expressão faz sentido, é contínua em todo esse conjunto. Esse conjunto é o maior subconjunto de \mathbb{R} onde H pode ser contínua, pois fora dele ou a função não está definida (por x=0) ou o radicando fica negativo (em (-1,0)).

Resposta

(-\infty,-1]\cup(0,\infty)

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