Determine o maior subconjunto de
para o qual as seguintes funções são contínuas e justifique.
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o maior subconjunto de
onde a função
é contínua, e justificar a resposta.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função é definida por
. - Há duas fontes potenciais de restrição no domínio: a expressão
(que exige ) e a raiz quadrada (que exige que o radicando seja ). - O objetivo é encontrar o maior conjunto de
onde está definida e, além disso, provar que é contínua nesse conjunto.
Passo 2
Primeiro vamos achar o domínio (conjunto de definição) de
. Como já indiquei, duas condições simultâneas devem valer:
-
(porque precisa estar definida). - O radicando deve ser não-negativo:
Colocamos essas condições juntas para determinar os
permitidos.
Passo 3
Resolver a desigualdade
Reescrevo em uma única fração:
Então precisamos de
A expressão
tem pontos críticos em
(numerador zero) e em
(denominador zero, expressão não definida). Para resolver a desigualdade fazemos o estudo de sinais por intervalos determinados por
.
Passo 4
Análise de sinais (com exemplos fáceis para visualizar):
- Para
(por exemplo ): . Logo a desigualdade é satisfeita em . - Para
(por exemplo ): . Logo a desigualdade não vale nesse intervalo. - Para
(por exemplo ): . Logo a desigualdade vale em . - Em
temos , então a desigualdade é satisfeita (igualdade permitida pelo ). - Em
a expressão não está definida (portanto é excluído).
Portanto a solução da desigualdade é
Passo 5
Concluímos que o domínio de
é
Agora justifico a continuidade em todo esse domínio.
Teorema usado (em palavras simples): se
e
são funções contínuas em pontos apropriados, então combinações como
,
, composição
etc. também são contínuas quando bem definidas. Em particular:
- A função
é contínua em seu domínio . - A função
é contínua em . - A função
é contínua em .
Nossa função é a composição e soma dessas funções: primeiro
(contínua em
), depois soma
(contínua onde a primeira é definida), e por fim aplicamos
(contínua para argumentos
). Logo a composição é contínua em todos os pontos onde todas as etapas estão bem definidas, isto é, em todo
.
Passo 6
Verificação especial nos pontos-limite do domínio:
- Para
ou temos intervalos abertos do domínio, e a argumentação por composição garante continuidade usual nesses pontos. - Em
o radicando vale exatamente zero:
Como o domínio não contém pontos à direita imediata de
(o intervalo
não pertence ao domínio), a continuidade em
é a continuidade relativa ao domínio: é preciso que
. A aproximação por pontos de
se faz pela esquerda (por exemplo
), e nesses pontos
tende a
, então
. Portanto
é contínua em
também.
Não há continuidade em
porque
(a função não está definida aí).
Passo 7
Conclusão:
está definida exatamente em
e, por ser composição de funções contínuas onde a expressão faz sentido, é contínua em todo esse conjunto. Esse conjunto é o maior subconjunto de
onde
pode ser contínua, pois fora dele ou a função não está definida (por
) ou o radicando fica negativo (em
).