Determine média, mediana, moda, amplitude, variância e desvio-padrão dos seguintes conjuntos de dados:
8 ; 3 ; 0 ; 6 ; 8.

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto de dados abaixo e pede medidas descritivas:
8 \\ ;\\\ 3 \\ ;\\\ 0 \\ ;\\\ 6 \\ ;\\\ 8.
Perguntas explícitas que vamos responder: média, mediana, moda, amplitude, variância e desvio-padrão.
Informações relevantes dadas: os cinco valores acima (ou seja, temos n=5 observações). Neste passo só identifiquei o que se pede e os dados; a resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Média — definição e fórmula. A média aritmética é o valor central obtido somando todos os dados e dividindo pelo número de observações. Em símbolos:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,
onde \bar{x} é a média, n é o número de observações e x_i são os valores dos dados. Aqui n=5. Calculamos a soma dos dados:
8+3+0+6+8 = 25.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{25}{5}=5.

Passo 3

Mediana — definição e procedimento. A mediana é o valor que fica no meio quando os dados são ordenados. Primeiro ordeno os dados em ordem crescente (peguei os valores do enunciado e ordenei):
0,\\\ 3,\\\ 6,\\\ 8,\\\ 8.
Como n=5 é ímpar, a mediana é o valor na posição \frac{n+1}{2}=\frac{5+1}{2}=3-ª posição da lista ordenada. O terceiro valor é 6. Portanto a mediana é 6.

Passo 4

Moda — definição e procedimento. A moda é o valor que aparece com maior frequência no conjunto. Contando as ocorrências (peguei os dados do enunciado):
  • 0 aparece 1 vez;
  • 3 aparece 1 vez;
  • 6 aparece 1 vez;
  • 8 aparece 2 vezes.
    O valor com maior frequência é 8. Portanto a moda é 8. (É unimodal porque só um valor tem maior frequência.)

Passo 5

Amplitude (range) — definição e cálculo. A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto:
\text{amplitude}=\max(x_i)-\min(x_i).
Aqui \max=8 e \min=0 (peguei esses extremos do conjunto dado), então
\text{amplitude}=8-0=8.

Passo 6

Variância — definição, escolha do tipo e cálculo passo a passo. A variância mede a dispersão dos dados em torno da média. Como o enunciado fornece todo o conjunto de dados (não fala em amostra), vou calcular a variância populacional, cuja fórmula é
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2,
onde \sigma^2 é a variância populacional, n é o número de observações e \mu é a média (aqui \mu=\bar{x}=5). Vou calcular as diferenças x_i-\mu, seus quadrados e a soma:
Lista dos x_i e cálculos (peguei os x_i do enunciado):
\begin{array}{lcl} x_1=8 &\Rightarrow& x_1-\mu=8-5=3 \quad\Rightarrow\quad (x_1-\mu)^2=9,\\[4pt] x_2=3 &\Rightarrow& x_2-\mu=3-5=-2 \quad\Rightarrow\quad (x_2-\mu)^2=4,\\[4pt] x_3=0 &\Rightarrow& x_3-\mu=0-5=-5 \quad\Rightarrow\quad (x_3-\mu)^2=25,\\[4pt] x_4=6 &\Rightarrow& x_4-\mu=6-5=1 \quad\Rightarrow\quad (x_4-\mu)^2=1,\\[4pt] x_5=8 &\Rightarrow& x_5-\mu=8-5=3 \quad\Rightarrow\quad (x_5-\mu)^2=9. \end{array}
Somando os quadrados (peguei esses resultados):
9+4+25+1+9 = 48.
Agora aplico a fórmula dividindo por n=5:
\sigma^2=\frac{48}{5}=9,6.
Portanto a variância populacional é \;9,6.
Observação rápida (didática): se você estivesse calculando a variância amostral (para estimar a variância de uma população a partir de uma amostra), dividiria por n-1 em vez de n. Aqui usamos divisão por n porque temos o conjunto completo dado.]

Passo 7

Desvio-padrão — definição e cálculo. O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância e expressa a dispersão nas mesmas unidades dos dados:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}.
Usando \sigma^2=9,6 (do passo anterior),
\sigma=\sqrt{9,6}.
Aproximação numérica: \sqrt{9,6}\approx 3,098 (arredondei para três casas decimais). Portanto o desvio-padrão populacional é aproximadamente 3,098.

Resposta

Média: \bar{x}=5
Mediana: 6
Moda: 8
Amplitude: 8
Variância: \sigma^2=9,6
Desvio-padrão: \sigma\approx 3,098

Exercícios relacionados