Determine média, mediana, moda, amplitude, variância e desvio-padrão dos seguintes conjuntos de dados:
.
Passo 1
O enunciado fornece o conjunto de dados abaixo e pede medidas descritivas:
Perguntas explícitas que vamos responder: média, mediana, moda, amplitude, variância e desvio-padrão.
Informações relevantes dadas: os cinco valores acima (ou seja, temos observações). Neste passo só identifiquei o que se pede e os dados; a resolução começa no passo seguinte.
Informações relevantes dadas: os cinco valores acima (ou seja, temos
Passo 2
Média — definição e fórmula. A média aritmética é o valor central obtido somando todos os dados e dividindo pelo número de observações. Em símbolos:
onde
é a média,
é o número de observações e
são os valores dos dados. Aqui
. Calculamos a soma dos dados:
Logo a média é
Passo 3
Mediana — definição e procedimento. A mediana é o valor que fica no meio quando os dados são ordenados. Primeiro ordeno os dados em ordem crescente (peguei os valores do enunciado e ordenei):
Como
é ímpar, a mediana é o valor na posição
-ª posição da lista ordenada. O terceiro valor é
. Portanto a mediana é
.
Passo 4
Moda — definição e procedimento. A moda é o valor que aparece com maior frequência no conjunto. Contando as ocorrências (peguei os dados do enunciado):
-
aparece 1 vez; -
aparece 1 vez; -
aparece 1 vez; -
aparece 2 vezes.
O valor com maior frequência é. Portanto a moda é . (É unimodal porque só um valor tem maior frequência.)
Passo 5
Amplitude (range) — definição e cálculo. A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto:
Aqui
e
(peguei esses extremos do conjunto dado), então
Passo 6
Variância — definição, escolha do tipo e cálculo passo a passo. A variância mede a dispersão dos dados em torno da média. Como o enunciado fornece todo o conjunto de dados (não fala em amostra), vou calcular a variância populacional, cuja fórmula é
onde
é a variância populacional,
é o número de observações e
é a média (aqui
). Vou calcular as diferenças
, seus quadrados e a soma:
Lista dos
e cálculos (peguei os
do enunciado):
Somando os quadrados (peguei esses resultados):
Agora aplico a fórmula dividindo por
:
Portanto a variância populacional é
.
Observação rápida (didática): se você estivesse calculando a variância amostral (para estimar a variância de uma população a partir de uma amostra), dividiria por
em vez de
. Aqui usamos divisão por
porque temos o conjunto completo dado.]
Passo 7
Desvio-padrão — definição e cálculo. O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância e expressa a dispersão nas mesmas unidades dos dados:
Usando
(do passo anterior),
Aproximação numérica:
(arredondei para três casas decimais). Portanto o desvio-padrão populacional é aproximadamente
.
Resposta
Média:
Mediana:
Moda:
Amplitude:
Variância:
Desvio-padrão:
Mediana:
Moda:
Amplitude:
Variância:
Desvio-padrão: