Determine média, mediana, moda, amplitude, variância e desvio-padrão dos seguintes conjuntos de dados:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as medidas a seguir do conjunto de dados
: média, mediana, moda, amplitude, variância e desvio-padrão.
Informações dadas: os cinco valores são ,
,
,
e
.
Não há outras informações (por exemplo se os dados são uma amostra ou toda a população), portanto vamos tratar o conjunto fornecido como o universo dos dados (ou seja, usaremos a fórmula de variância populacional).
Informações dadas: os cinco valores são
Não há outras informações (por exemplo se os dados são uma amostra ou toda a população), portanto vamos tratar o conjunto fornecido como o universo dos dados (ou seja, usaremos a fórmula de variância populacional).
Passo 2
Vamos começar calculando a média. A média aritmética é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Formalmente:
onde
é a quantidade de dados e
são os valores.
Aqui e os valores são
,
,
,
,
. Calculemos a soma:
Aqui
Agora a média:
Portanto a média é
.
Passo 3
Agora a mediana. A mediana é o valor central quando os dados são ordenados. Primeiro ordenamos os números em ordem crescente — estou pegando esses valores do enunciado:
Como
é ímpar, a mediana é o elemento na posição
, ou seja o 3.º valor da lista ordenada. O 3.º valor é
.
Logo a mediana é .
Logo a mediana é
Passo 4
Agora a moda. Moda é o valor que aparece com maior frequência. Contemos as ocorrências (peguei os dados do enunciado):
Cada valor aparece uma única vez, não há nenhum que apareça mais vezes que os outros. Quando não existe valor com maior frequência dizemos que o conjunto é amodal (não tem moda).
Portanto a moda: não existe (amodal).
Portanto a moda: não existe (amodal).
Passo 5
Amplitude (ou range) é a diferença entre o maior e o menor valor. Tomando do enunciado:
Logo a amplitude é
.
Passo 6
Agora a variância. Como expliquei no Passo 1, vou usar a variância populacional porque estamos tratando o conjunto todo como universo dos dados. A fórmula da variância populacional é:
Aqui
e
. Vamos calcular cada desvio e o quadrado do desvio (faço as contas passo a passo):
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Somando os quadrados dos desvios (todos esses números vieram dos cálculos acima):
Agora aplicamos a fórmula dividindo por
:
Portanto a variância populacional é
.
Passo 7
Por fim, o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. Matematicamente:
A raiz exata é irracional, então usamos aproximação. Calculando:
Arredondando normalmente com duas casas decimais (suficiente para a maioria das provas sem calculadora), obtemos
.
Obs.: se o enunciado pedisse a variância amostral (por exemplo se estes fossem apenas uma amostra de uma população maior), usaríamos a fórmula com divisor ; nesse caso a variância amostral seria
e o desvio amostral seria
. Eu escolhi a variância populacional porque estamos tratando o conjunto dado como o conjunto completo de dados.
Obs.: se o enunciado pedisse a variância amostral (por exemplo se estes fossem apenas uma amostra de uma população maior), usaríamos a fórmula com divisor
Passo 8
Resumo rápido dos números já calculados (para facilitar memorização na hora da prova): média
, mediana
, sem moda, amplitude
, variância
e desvio-padrão aproximadamente
. Você está indo bem — essas contas ficam mais rápidas com prática, especialmente organizar os dados e fazer a tabela dos desvios quadrados como eu fiz.
Resposta
Média:
Mediana:
Moda: não existe (amodal)
Amplitude:
Variância:
Desvio-padrão:
Mediana:
Moda: não existe (amodal)
Amplitude:
Variância:
Desvio-padrão: