Determine média, mediana, moda, amplitude, variância e desvio-padrão dos seguintes conjuntos de dados:
4 ; 16 ; 10 ; 6 ; 20.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as medidas a seguir do conjunto de dados 4 ; 16 ; 10 ; 6 ; 20: média, mediana, moda, amplitude, variância e desvio-padrão.
Informações dadas: os cinco valores são 4, 16, 10, 6 e 20.
Não há outras informações (por exemplo se os dados são uma amostra ou toda a população), portanto vamos tratar o conjunto fornecido como o universo dos dados (ou seja, usaremos a fórmula de variância populacional).

Passo 2

Vamos começar calculando a média. A média aritmética é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Formalmente:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
onde n é a quantidade de dados e x_i são os valores.
Aqui n=5 e os valores são x_1=4, x_2=16, x_3=10, x_4=6, x_5=20. Calculemos a soma:
4+16+10+6+20=56
Agora a média:
\bar{x}=\frac{56}{5}=11,2
Portanto a média é \bar{x}=11,2.

Passo 3

Agora a mediana. A mediana é o valor central quando os dados são ordenados. Primeiro ordenamos os números em ordem crescente — estou pegando esses valores do enunciado:
4,\;6,\;10,\;16,\;20
Como n=5 é ímpar, a mediana é o elemento na posição \frac{n+1}{2}=\frac{5+1}{2}=3, ou seja o 3.º valor da lista ordenada. O 3.º valor é 10.
Logo a mediana é 10.

Passo 4

Agora a moda. Moda é o valor que aparece com maior frequência. Contemos as ocorrências (peguei os dados do enunciado):
4:1,\quad 6:1,\quad 10:1,\quad 16:1,\quad 20:1
Cada valor aparece uma única vez, não há nenhum que apareça mais vezes que os outros. Quando não existe valor com maior frequência dizemos que o conjunto é amodal (não tem moda).
Portanto a moda: não existe (amodal).

Passo 5

Amplitude (ou range) é a diferença entre o maior e o menor valor. Tomando do enunciado:
\text{amplitude}=\max - \min = 20-4=16
Logo a amplitude é 16.

Passo 6

Agora a variância. Como expliquei no Passo 1, vou usar a variância populacional porque estamos tratando o conjunto todo como universo dos dados. A fórmula da variância populacional é:
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2
Aqui \bar{x}=11,2 e n=5. Vamos calcular cada desvio e o quadrado do desvio (faço as contas passo a passo):
Para x_1=4:
x_1-\bar{x}=4-11,2=-7,2,\qquad (x_1-\bar{x})^2=(-7,2)^2=51,84
Para x_2=16:
x_2-\bar{x}=16-11,2=4,8,\qquad (x_2-\bar{x})^2=(4,8)^2=23,04
Para x_3=10:
x_3-\bar{x}=10-11,2=-1,2,\qquad (x_3-\bar{x})^2=(-1,2)^2=1,44
Para x_4=6:
x_4-\bar{x}=6-11,2=-5,2,\qquad (x_4-\bar{x})^2=(-5,2)^2=27,04
Para x_5=20:
x_5-\bar{x}=20-11,2=8,8,\qquad (x_5-\bar{x})^2=(8,8)^2=77,44
Somando os quadrados dos desvios (todos esses números vieram dos cálculos acima):
51,84+23,04+1,44+27,04+77,44=180,80
Agora aplicamos a fórmula dividindo por n=5:
\sigma^2=\frac{180,80}{5}=36,16
Portanto a variância populacional é \sigma^2=36,16.

Passo 7

Por fim, o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. Matematicamente:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{36,16}
A raiz exata é irracional, então usamos aproximação. Calculando:
\sigma\approx6,0133\ldots
Arredondando normalmente com duas casas decimais (suficiente para a maioria das provas sem calculadora), obtemos \sigma\approx6,01.
Obs.: se o enunciado pedisse a variância amostral (por exemplo se estes fossem apenas uma amostra de uma população maior), usaríamos a fórmula com divisor n-1; nesse caso a variância amostral seria \frac{180,80}{4}=45,20 e o desvio amostral seria \sqrt{45,20}\approx6,72. Eu escolhi a variância populacional porque estamos tratando o conjunto dado como o conjunto completo de dados.

Passo 8

Resumo rápido dos números já calculados (para facilitar memorização na hora da prova): média 11,2, mediana 10, sem moda, amplitude 16, variância 36,16 e desvio-padrão aproximadamente 6,01. Você está indo bem — essas contas ficam mais rápidas com prática, especialmente organizar os dados e fazer a tabela dos desvios quadrados como eu fiz.

Resposta

Média: 11,2
Mediana: 10
Moda: não existe (amodal)
Amplitude: 16
Variância: 36,16
Desvio-padrão: 6,01

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