1. Determine o número de termos da PG ( 1,2, \ldots, 256 ).

Passo 1

O enunciado fornece a progressão geométrica
1,2,\ldots,256.
Pergunta: determinar o número de termos dessa PG.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Primeiro termo: a_1 = 1.
  • Segundo termo: a_2 = 2.
  • Último termo indicado: a_n = 256.
    O que se pede: encontrar n, o número de termos.

Passo 2

Lembrete sobre progressão geométrica (PG) e fórmula do termo geral.
Uma PG é uma sequência em que cada termo (a partir do segundo) é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão comum, que chamamos de r. O termo geral (o n-ésimo termo) de uma PG é dado por:
a_n = a_1\,r^{\,n-1},
onde:
  • a_n é o n-ésimo termo (o termo que queremos igualar a 256);
  • a_1 é o primeiro termo ( 1 neste problema);
  • r é a razão da PG;
  • n é o número de termos (o que queremos achar).
    Essa fórmula vem de multiplicar a_1 por r repetidamente: a_2=a_1r,\; a_3=a_1r^2, etc.

Passo 3

Determinar a razão r. Como a_1=1 e a_2=2, calcula-se:
r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{1}=2.
Ou seja, cada termo é o dobro do anterior. Uma forma rápida de conferir: uma PG com razão 2 realmente começa 1,2,4,8,\dots.

Passo 4

Aplicar a fórmula do termo geral e resolver para n. Substituindo a_n=256, a_1=1 e r=2 na fórmula:
256 = 1\cdot 2^{\,n-1}.
Agora resolver a equação exponencial. Observa-se que 256 é uma potência de 2:
256 = 2^8.
Logo
2^8 = 2^{\,n-1}\quad\Rightarrow\quad n-1 = 8.
Portanto
n = 8+1 = 9.

Passo 5

Verificação rápida (contagem direta): listando os termos até 256:
1,2,4,8,16,32,64,128,256
são exatamente 9 termos — confirma o resultado.
Dica geral para a prova: se tiver a_1, r e o último termo a_n, use
n = 1 + \frac{\log\!\left(\dfrac{a_n}{a_1}\right)}{\log r},
onde \log pode ser em qualquer base (por exemplo natural). Isso resolve quando a_n não é uma potência óbvia de r.

Resposta

9

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