- Determine o número de termos da PG (
).
Passo 1
O enunciado fornece a progressão geométrica
.
Pergunta: determinar o número de termos dessa PG.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Pergunta: determinar o número de termos dessa PG.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Último termo indicado:
.
O que se pede: encontrar, o número de termos.
Passo 2
Lembrete sobre progressão geométrica (PG) e fórmula do termo geral.
Uma PG é uma sequência em que cada termo (a partir do segundo) é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão comum, que chamamos de . O termo geral (o
-ésimo termo) de uma PG é dado por:
Uma PG é uma sequência em que cada termo (a partir do segundo) é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão comum, que chamamos de
onde:
-
é o -ésimo termo (o termo que queremos igualar a ); -
é o primeiro termo ( neste problema); -
é a razão da PG; -
é o número de termos (o que queremos achar).
Essa fórmula vem de multiplicarpor repetidamente: etc.
Passo 3
Determinar a razão
. Como
e
, calcula-se:
Ou seja, cada termo é o dobro do anterior. Uma forma rápida de conferir: uma PG com razão
realmente começa
.
Passo 4
Aplicar a fórmula do termo geral e resolver para
. Substituindo
,
e
na fórmula:
Agora resolver a equação exponencial. Observa-se que
é uma potência de
:
Logo
Portanto
Passo 5
Verificação rápida (contagem direta): listando os termos até
:
são exatamente
termos — confirma o resultado.
Dica geral para a prova: se tiver ,
e o último termo
, use
Dica geral para a prova: se tiver
onde
pode ser em qualquer base (por exemplo natural). Isso resolve quando
não é uma potência óbvia de
.