Determine os pontos de tangentes horizontais e verticais para a curva x=t^{3}-3 t e y=t^{2}.

Passo 1

O enunciado fornece as curvas paramétricas
x(t)=t^{3}-3t,\qquad y(t)=t^{2},
e pede para determinar os pontos da curva onde a tangente é horizontal e onde a tangente é vertical.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável parâmetro é t.
  • As coordenadas de um ponto da curva são \big(x(t),y(t)\big).
  • As perguntas a responder são:
    • Quais pontos têm tangente horizontal?
    • Quais pontos têm tangente vertical?

Passo 2

Conceito e critério (explicado passo a passo):
  • A inclinação (coeficiente angular) da tangente a uma curva paramétrica \big(x(t),y(t)\big) é dada por
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}},
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq0.
  • Tangente horizontal: a reta tangente é horizontal quando a inclinação é zero. Portanto, isso ocorre quando
\frac{dy}{dx}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{dy}{dt}=0\\ \text{ e }\\ \frac{dx}{dt}\neq0.
  • Intuição: se \dfrac{dy}{dx}=0, a variação de y em relação a x é nula — a reta não sobe nem desce.
  • Tangente vertical: a reta tangente é vertical quando a inclinação é indefinida/infinita. Portanto, isso ocorre quando
\frac{dx}{dt}=0\\ \text{ e }\\ \frac{dy}{dt}\neq0.
  • Intuição: se \dfrac{dx}{dt}=0 enquanto \dfrac{dy}{dt}\neq0, x não muda (vertical), mas y muda.

Passo 3

Calcular as derivadas em relação a t:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\big(t^{3}-3t\big)=3t^{2}-3=3(t^{2}-1)=3(t-1)(t+1).
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\big(t^{2}\big)=2t.
Estas fórmulas significam: para cada valor de t a taxa de variação de x é 3t^{2}-3 e a de y é 2t.

Passo 4

Encontrar tangentes horizontais (usar \dfrac{dy}{dt}=0 com \dfrac{dx}{dt}\neq0):
  • Resolver \dfrac{dy}{dt}=2t=0 \,t=0.
  • Verificar \dfrac{dx}{dt} em t=0:
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=0}=3(0)^{2}-3=-3\neq0,
portanto há tangente horizontal em t=0.
  • Coordenadas do ponto para t=0:
x(0)=0^{3}-3\cdot0=0,\qquad y(0)=0^{2}=0.
Então a tangente horizontal ocorre no ponto \big(0,0\big). (A equação da reta tangente é y=0.)

Passo 5

Encontrar tangentes verticais (usar \dfrac{dx}{dt}=0 com \dfrac{dy}{dt}\neq0):
  • Resolver \dfrac{dx}{dt}=3(t^{2}-1)=0 t^{2}-1=0\Rightarrow t=\pm1.
  • Verificar \dfrac{dy}{dt} em t=1:
\frac{dy}{dt}\Big|_{t=1}=2\cdot1=2\neq0,
logo há tangente vertical em t=1.
  • Coordenadas para t=1:
x(1)=1^{3}-3\cdot1=1-3=-2,\qquad y(1)=1^{2}=1.
Portanto um ponto com tangente vertical é \big(-2,1\big) (equação da reta tangente: x=-2).
  • Verificar \dfrac{dy}{dt} em t=-1:
\frac{dy}{dt}\Big|_{t=-1}=2\cdot(-1)=-2\neq0,
logo há tangente vertical em t=-1.
  • Coordenadas para t=-1:
x(-1)=(-1)^{3}-3(-1)=-1+3=2,\qquad y(-1)=(-1)^{2}=1.
Portanto outro ponto com tangente vertical é \big(2,1\big) (equação da reta tangente: x=2).

Passo 6

Verificação final de singularidades:
  • Não existem valores de t em que simultaneamente \dfrac{dx}{dt}=0 e \dfrac{dy}{dt}=0 (isso seria um ponto singular/cúspide). De fato, \dfrac{dy}{dt}=0 só em t=0, e aí \dfrac{dx}{dt}\neq0. Portanto os casos acima são todos os pontos pedidos.

Resposta

Tangente horizontal: (0,0)
Tangentes verticais: (-2,1)
(2,1)

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