Determine os pontos de tangentes horizontais e verticais para a curva
e
.
Passo 1
O enunciado fornece as curvas paramétricas
e pede para determinar os pontos da curva onde a tangente é horizontal e onde a tangente é vertical.
Informações relevantes fornecidas:
- A variável parâmetro é
. - As coordenadas de um ponto da curva são
. - As perguntas a responder são:
- Quais pontos têm tangente horizontal?
- Quais pontos têm tangente vertical?
Passo 2
Conceito e critério (explicado passo a passo):
- A inclinação (coeficiente angular) da tangente a uma curva paramétrica
é dada por
desde que
.
- Tangente horizontal: a reta tangente é horizontal quando a inclinação é zero. Portanto, isso ocorre quando
- Intuição: se
, a variação de em relação a é nula — a reta não sobe nem desce. - Tangente vertical: a reta tangente é vertical quando a inclinação é indefinida/infinita. Portanto, isso ocorre quando
- Intuição: se
enquanto , não muda (vertical), mas muda.
Passo 3
Calcular as derivadas em relação a
:
Estas fórmulas significam: para cada valor de
a taxa de variação de
é
e a de
é
.
Passo 4
Encontrar tangentes horizontais (usar
com
):
- Resolver
dá . - Verificar
em :
portanto há tangente horizontal em
.
- Coordenadas do ponto para
:
Então a tangente horizontal ocorre no ponto
. (A equação da reta tangente é
.)
Passo 5
Encontrar tangentes verticais (usar
com
):
- Resolver
dá . - Verificar
em :
logo há tangente vertical em
.
- Coordenadas para
:
Portanto um ponto com tangente vertical é
(equação da reta tangente:
).
- Verificar
em :
logo há tangente vertical em
.
- Coordenadas para
:
Portanto outro ponto com tangente vertical é
(equação da reta tangente:
).
Passo 6
Verificação final de singularidades:
- Não existem valores de
em que simultaneamente e (isso seria um ponto singular/cúspide). De fato, só em , e aí . Portanto os casos acima são todos os pontos pedidos.
Resposta
Tangente horizontal:
Tangentes verticais: