Determine o raio e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot(2 n)} x^{2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o raio e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot(2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot\ldots\cdot(2n)}\, x^{2n+1}.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
\text{termo geral: }\; a_n(x)=\frac{1\cdot 3\cdot\ldots\cdot(2n-1)}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot(2n)}\, x^{2n+1}.
A pergunta é: qual é o raio de convergência R desta série de potências e qual é o intervalo (no eixo real) onde a série converge (incluindo ou não os extremos)?

Passo 2

Primeiro é conveniente simplificar a expressão do coeficiente numérico
c_n:=\frac{1\cdot 3\cdot\ldots\cdot(2n-1)}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot(2n)}.
Vamos escrever esses produtos com fatoriais. Note que o fatorial (2n)! pode ser separado em fatores pares e ímpares:
(2n)!=(2\cdot4\cdot\ldots\cdot 2n)\cdot(1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2n-1)).
O produto dos termos pares é 2\cdot4\cdot\ldots\cdot2n = 2^n n!. Usando isso obtemos
1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2n-1)=\frac{(2n)!}{2^n n!}.
Substituindo no quociente c_n
c_n=\frac{\dfrac{(2n)!}{2^n n!}}{2^n n!}=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}.

Passo 3

Reconhecemos uma expressão com o coeficiente binomial central. Lembrando que
\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2},
podemos escrever
c_n=\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}.
Portanto a série vira
\sum_{n=1}^\infty c_n x^{2n+1}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\, x^{2n+1}.

Passo 4

Para achar o raio de convergência usamos o critério da razão (ratio test) aplicado aos termos em valor absoluto.
Definimos t_n:=c_n x^{2n+1}. O critério da razão diz que a série \sum t_n converge absolutamente se
L:=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{t_{n+1}}{t_n}\right|<1,
diverge se L>1, e é inconclusivo se L=1. Vamos calcular essa razão:
\left|\frac{t_{n+1}}{t_n}\right|=\frac{c_{n+1}}{c_n}\;|x|^2,
pois x^{2(n+1)+1}/x^{2n+1}=x^2. Então precisamos calcular \dfrac{c_{n+1}}{c_n}.

Passo 5

Calculemos c_{n+1}/c_n usando a forma com binomiais:
\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{\dfrac{1}{4^{n+1}}\binom{2n+2}{n+1}}{\dfrac{1}{4^n}\binom{2n}{n}} =\frac{1}{4}\cdot\frac{\binom{2n+2}{n+1}}{\binom{2n}{n}}.
Agora o quociente de binomiais:
\frac{\binom{2n+2}{n+1}}{\binom{2n}{n}} =\frac{(2n+2)!/(n+1)!(n+1)!}{(2n)!/(n!)^2} =\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}.
Simplificando,
\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} =2\cdot\frac{2n+1}{n+1}=4-\frac{2}{n+1}.
Portanto
\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{1}{4}\left(4-\frac{2}{n+1}\right)=1-\frac{1}{2(n+1)}.

Passo 6

Tomando limite quando n\to\infty temos
\lim_{n\to\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}=1.
Logo, voltando ao critério da razão,
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{t_{n+1}}{t_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}\,|x|^2 = 1\cdot |x|^2 = |x|^2.
Pelo critério, a série converge absolutamente se |x|^2<1, isto é, se |x|<1, e diverge se |x|>1. Assim o raio de convergência é
R=1.

Passo 7

Ainda precisamos testar os extremos |x|=1, ou seja x=1 e x=-1.
Para x=1 a série torna-se
\sum_{n=1}^\infty c_n=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}.
Usamos um comportamento assintótico conhecido do coeficiente binomial central (que pode ser obtido com a fórmula de Stirling):
\binom{2n}{n}\sim\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\quad\text{quando }n\to\infty.
Daí
c_n=\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\sim\frac{1}{\sqrt{\pi n}}.
Como c_n tem ordem assintótica 1/\sqrt{n}, a série \sum c_n diverge por comparação com a série harmônica generalizada \sum 1/n^{1/2} (que diverge pois o expoente 1/2\le 1). Portanto para x=1 a série diverge.
Para x=-1 os termos são (-1)^{2n+1}c_n=-c_n; então a série é -\sum c_n e também diverge pelo mesmo motivo. Assim ambos os extremos não pertencem ao conjunto de convergência.

Passo 8

Resumo e conclusão: o raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência (no eixo real) é o intervalo aberto (-1,1), sem incluir x=\pm1.

Resposta

Raio de convergência: R=1.\nIntervalo de convergência: (-1,1).

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