Determine o raio e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot(2 n)} x^{2 n+1}
Passo 1
O enunciado pede para determinar o raio e o intervalo de convergência da série
A pergunta é: qual é o raio de convergência R desta série de potências e qual é o intervalo (no eixo real) onde a série converge (incluindo ou não os extremos)?
Passo 2
Primeiro é conveniente simplificar a expressão do coeficiente numérico
Para achar o raio de convergência usamos o critério da razão (ratio test) aplicado aos termos em valor absoluto.
Definimos t_n:=c_n x^{2n+1}. O critério da razão diz que a série \sum t_n converge absolutamente se
Como c_n tem ordem assintótica 1/\sqrt{n}, a série \sum c_n diverge por comparação com a série harmônica generalizada \sum 1/n^{1/2} (que diverge pois o expoente 1/2\le 1). Portanto para x=1 a série diverge.
Para x=-1 os termos são (-1)^{2n+1}c_n=-c_n; então a série é -\sum c_n e também diverge pelo mesmo motivo. Assim ambos os extremos não pertencem ao conjunto de convergência.
Passo 8
Resumo e conclusão: o raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência (no eixo real) é o intervalo aberto (-1,1), sem incluir x=\pm1.
Resposta
Raio de convergência: R=1.\nIntervalo de convergência: (-1,1).