Determine o raio e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo: \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n}
Passo 1
O enunciado pede para determinar o raio e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}.
Observação importante: a expressão com n=0 tem o termo \frac{1}{0}, que é indefinido. Vou assumir que a intenção do enunciado é a série com início em n=1, ou seja
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}.
Informações fornecidas:
A série é uma série de potências centrada em 0 com coeficientes a_n = (-1)^{n+1}/n.
Perguntas que o enunciado faz:
Qual o raio de convergência R dessa série de potências?
Qual o intervalo de convergência real (testando também os extremos |x|=R)?
Passo 2
Escolhemos primeiro achar o raio de convergência R. Para isso podemos usar a fórmula do raio para séries de potências em termos dos coeficientes a_n:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Aqui cada coeficiente é a_n = (-1)^{n+1}/n, então o módulo é |a_n| = 1/n. Vou calcular \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Explicando a fórmula: a expressão \sqrt[n]{|a_n|} é a raiz enésima do tamanho do coeficiente; o limsup dessa sequência diz quão rapidamente os coeficientes vão a zero em média, e o inverso disso dá o raio R. Essa é uma versão do teste da raiz para séries de potências.
Logo \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1. Aplicando a fórmula do raio:
R=\frac{1}{1}=1.
Passo 4
Interpretação: o raio de convergência é R=1. Isso significa que a série de potências converge absolutamente para todo x com |x|<1, diverge para |x|>1, e é necessário testar os pontos x=1 e x=-1 separadamente (os extremos do intervalo [-1,1]).
Agora explico por que, para |x|<1, a série converge absolutamente. Considere a série das normas dos termos:
Se |x|<1, o limite da raiz enésima é menor que 1, então a série \sum |x|^{n}/n converge (teste da raiz). Conclusão: para |x|<1 há convergência absoluta, portanto convergência.
Passo 5
Agora testamos o endpoint x=1. Substituindo x=1 na série (lembre que assumimos soma a partir de n=1):
Esta é a série harmônica alternada clássica. Para decidir convergência usamos o critério de Leibniz (teste da série alternada): se os termos b_n=\frac{1}{n} são positivos, monótonos decrescentes (a partir de algum n) e tendem a zero, então \sum (-1)^{n}b_n converge. No nosso caso:
b_n=1/n>0.
b_{n+1}=1/(n+1) < 1/n = b_n: são decrescentes.
\lim_{n\to\infty}b_n=0.
Logo a série converge (condicionalmente, pois não converge absolutamente neste ponto). Observação extra (útil na prova): o valor limite conhecido dessa série é \ln 2, isto é
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}=\ln 2,
mas para a questão principal basta saber que ela converge.
Passo 6
Testamos agora o endpoint x=-1. Substituindo x=-1 na série:
A série \sum_{n=1}^{\infty}1/n é a série harmônica, que diverge. Multiplicar por -1 não muda o fato de divergir (apenas inverte o sinal dos termos). Logo a série diverge em x=-1.
Passo 7
Conclusão combinando os resultados:
Raio de convergência: R=1.
A série converge absolutamente para |x|<1.
Em x=1 a série converge (condicionalmente).
Em x=-1 a série diverge.
Portanto o intervalo de convergência real é (-1,1].