Determine o raio e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
\sum_{n=0}^{\infty} n \frac{(x-1)^{2 n}}{3^{2 n-1}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o raio e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} n \frac{(x-1)^{2 n}}{3^{2 n-1}}.
Informações relevantes do enunciado:
\text{a série é dada por }a_n(x)=n\frac{(x-1)^{2n}}{3^{2n-1}}.éé
O que nos pedem:
  1. o raio de convergência R (distância do centro x=1 até a fronteira de convergência), e
  2. o intervalo de convergência real (valores de x para os quais a série converge), incluindo a verificação dos pontos extremos.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a forma do termo geral para enxergar melhor a dependência em x. Observando a potência de 3:
3^{2n-1}=\frac{3^{2n}}{3}=\frac{(3^2)^n}{3}=\frac{9^n}{3}.
Substituindo na expressão do termo:
n\frac{(x-1)^{2n}}{3^{2n-1}} = n\frac{(x-1)^{2n}}{9^n/3} =3n\left(\frac{(x-1)^2}{9}\right)^n.
Logo a série pode ser escrita como
\sum_{n=0}^{\infty} 3n\left(\frac{(x-1)^2}{9}\right)^n =3\sum_{n=0}^{\infty} n\left(\frac{(x-1)^2}{9}\right)^n.
Isso mostra que a série é, essencialmente, uma série da forma \sum n a^n com a=\dfrac{(x-1)^2}{9}.

Passo 3

Vamos estudar a convergência da série \sum n a^n em função do parâmetro a. Dois pontos importantes que preciso te lembrar (aulas rápidas):
  • A série geométrica \sum a^n converge se, e somente se, |a|<1.
  • A série \sum n a^n (série de potências com coeficiente n) converge para |a|<1 e diverge para |a|\ge 1. Uma maneira prática de ver isso é aplicar o teste da razão (Ratio Test).
Vou aplicar o teste da razão para a sequência de termos
b_n = n a^n \quad\text{com}\quad a=\frac{(x-1)^2}{9}.
O teste da razão diz: calcule
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|.
Se L<1 a série converge, se L>1 diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo.
Calculemos:
\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{(n+1)a^{n+1}}{n a^n}=\frac{n+1}{n}\,a,
então
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\,|a|=1\cdot |a|=|a|.
Portanto a condição de convergência pelo teste da razão é |a|<1.

Passo 4

Agora substituímos a=\dfrac{(x-1)^2}{9} na condição |a|<1:
\left|\frac{(x-1)^2}{9}\right|<1.
Como (x-1)^2\ge 0, isso é equivalente a
\frac{(x-1)^2}{9}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)^2<9.
Tomando raiz positiva,
|x-1|<3.
Isto nos dá o raio de convergência em torno de x=1:
R=3.
Significa que, inicialmente, a série converge para todos x tais que |x-1|<3, isto é no intervalo aberto
(1-3,\;1+3)=(-2,4).
Agora precisamos verificar os extremos x=-2 e x=4 separadamente (caso |x-1|=3).

Passo 5

Teste do extremo x=4. Aqui (x-1)=3, então (x-1)^2=9. Substituindo na forma simplificada:
3n\left(\frac{(x-1)^2}{9}\right)^n =3n\left(\frac{9}{9}\right)^n=3n\cdot 1^n=3n.
A série em x=4 fica
\sum_{n=0}^\infty 3n.
Um teste simples de divergência: uma condição necessária para que uma série \sum u_n convirja é que u_n\to 0 quando n\to\infty. Aqui u_n=3n\not\to 0 (na verdade u_n\to\infty), logo a série diverge em x=4.

Passo 6

Teste do extremo x=-2. Aqui (x-1)=-3, mas (x-1)^2=9 também. Substituindo:
3n\left(\frac{(x-1)^2}{9}\right)^n=3n\left(\frac{9}{9}\right)^n=3n.
Mesma conclusão: os termos não tendem a zero, portanto a série diverge em x=-2.

Passo 7

Conclusão final, juntando tudo de forma clara:
  • O raio de convergência é R=3.
  • O intervalo de convergência é o intervalo aberto centrado em 1 de raio 3, isto é (-2,4).
  • Ambos os extremos x=-2 e x=4 não pertencem ao intervalo de convergência (a série diverge em ambos).

Resposta

R=3
(-2,4)

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