Isso mostra que a série é, essencialmente, uma série da forma \sum n a^n com a=\dfrac{(x-1)^2}{9}.
Passo 3
Vamos estudar a convergência da série \sum n a^n em função do parâmetro a. Dois pontos importantes que preciso te lembrar (aulas rápidas):
A série geométrica \sum a^n converge se, e somente se, |a|<1.
A série \sum n a^n (série de potências com coeficiente n) converge para |a|<1 e diverge para |a|\ge 1. Uma maneira prática de ver isso é aplicar o teste da razão (Ratio Test).
Vou aplicar o teste da razão para a sequência de termos
b_n = n a^n \quad\text{com}\quad a=\frac{(x-1)^2}{9}.
Um teste simples de divergência: uma condição necessária para que uma série \sum u_n convirja é que u_n\to 0 quando n\to\infty. Aqui u_n=3n\not\to 0 (na verdade u_n\to\infty), logo a série diverge em x=4.
Passo 6
Teste do extremo x=-2. Aqui (x-1)=-3, mas (x-1)^2=9 também. Substituindo: