Determine o raio e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Informações dadas e pontos importantes que vou usar:
- A série é centrada em
(é uma série em potências de ). - Os coeficientes (para
) são . - Preciso determinar o raio
(distância do centro até a fronteira de convergência) e testar a convergência nos extremos .
Passo 2
Como achar o raio
: regra geral para uma série de potências
é usar
Vou calcular
para
. Primeiro veja que
Logo preciso de
Para avaliar esse limite é útil tomar logaritmo e usar que
. Temos
Como
e
quando
, o lado direito tende a
. Portanto
Assim
e, pela fórmula do raio,
Comentário didático rápido: a razão dessa raiz n-ésima dar
é porque
cresce só polinomial/logarítmicamente, e a raiz n-ésima “apaga” esse crescimento, deixando
.
Passo 3
Conclusão sobre convergência absoluta para
e divergência para
:
- Se
, aplicando o teste da raiz à série obtemos , logo a série converge absolutamente para todo . - Se
, então , o teste da raiz garante divergência; alternativamente os termos não tendem a zero, então a série diverge.
Portanto a convergência absoluta ocorre em
e fora de
a série diverge.
Passo 4
Agora é preciso verificar os pontos finais
e
separadamente (porque a fórmula do raio não decide os extremos).
Teste em
:
Substituindo obtemos a série numérica
Substituindo
Esta é uma série alternada de termos positivos
com sinal
. Vou aplicar o Teste de Leibniz (teste da série alternada): se
é decrescente e
, então a série alternada converge.
- Primeiro
porque . - Para ver que
é decrescente para , considere a função contínua para . Derivando:
Para
temos
e
, então
. Assim
é decrescente e, por consequência,
é decrescente a partir de
.
Logo as hipóteses do Teste de Leibniz são satisfeitas e a série em
converge. Porém a convergência não é absoluta: a série dos valores absolutos é
e esta série diverge (pode-se usar o Teste da Integral:
). Portanto em
temos convergência condicional.
Passo 5
Teste em
:
Substituindo obtemos
Substituindo
isto é, a mesma série de termos positivos que apareceu nos valores absolutos do caso
. Como já vimos,
diverge pelo teste da integral (ou pelo teste da condensação de Cauchy). Portanto a série diverge em
.
Passo 6
Juntando tudo:
- Raio de convergência
. - Para
a série converge absolutamente. - Em
a série converge condicionalmente. - Em
a série diverge.
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: