Determine o raio e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n}}{n \ln n}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n}}{n\ln n}.
Informações dadas e pontos importantes que vou usar:
  • A série é centrada em 0 (é uma série em potências de x).
  • Os coeficientes (para n\ge2) são a_n = (-1)^n/(n\ln n).
  • Preciso determinar o raio R (distância do centro até a fronteira de convergência) e testar a convergência nos extremos x=\pm1.

Passo 2

Como achar o raio R: regra geral para uma série de potências \sum a_n x^n é usar
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Vou calcular \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} para a_n = (-1)^n/(n\ln n). Primeiro veja que
|a_n|=\frac{1}{n\ln n}.
Logo preciso de
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n\ln n}}.
Para avaliar esse limite é útil tomar logaritmo e usar que \ln(n\ln n)=\ln n + \ln(\ln n). Temos
\ln\left(\sqrt[n]{\frac{1}{n\ln n}}\right)=\frac{1}{n}\ln\!\left(\frac{1}{n\ln n}\right)=-\frac{\ln n + \ln(\ln n)}{n}.
Como \ln n / n \to 0 e \ln(\ln n)/n \to 0 quando n\to\infty, o lado direito tende a 0. Portanto
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n\ln n}}=e^{0}=1.
Assim \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1 e, pela fórmula do raio,
R=\frac{1}{1}=1.
Comentário didático rápido: a razão dessa raiz n-ésima dar 1 é porque n\ln n cresce só polinomial/logarítmicamente, e a raiz n-ésima “apaga” esse crescimento, deixando 1.

Passo 3

Conclusão sobre convergência absoluta para |x|<R e divergência para |x|>R:
  • Se |x|<1, aplicando o teste da raiz à série \sum |a_n||x|^n obtemos \limsup \sqrt[n]{|a_n||x|^n}=|x|\cdot 1=|x|<1, logo a série converge absolutamente para todo |x|<1.
  • Se |x|>1, então \limsup \sqrt[n]{|a_n||x|^n}=|x|>1, o teste da raiz garante divergência; alternativamente os termos não tendem a zero, então a série diverge.
Portanto a convergência absoluta ocorre em |x|<1 e fora de [-1,1] a série diverge.

Passo 4

Agora é preciso verificar os pontos finais x=1 e x=-1 separadamente (porque a fórmula do raio não decide os extremos).
Teste em x=1:
Substituindo x=1 obtemos a série numérica
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1^{n}}{n\ln n}=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n\ln n}.
Esta é uma série alternada de termos positivos b_n=\dfrac{1}{n\ln n} com sinal (-1)^n. Vou aplicar o Teste de Leibniz (teste da série alternada): se b_n é decrescente e b_n\to0, então a série alternada converge.
  • Primeiro b_n\to0 porque n\ln n\to\infty.
  • Para ver que b_n é decrescente para n\ge2, considere a função contínua f(t)=\dfrac{1}{t\ln t} para t\ge2. Derivando:
f'(t)=-\frac{\ln t + 1}{t^{2}(\ln t)^{2}}.
Para t\ge2 temos \ln t>0 e \ln t+1>0, então f'(t)<0. Assim f é decrescente e, por consequência, b_n é decrescente a partir de n=2.
Logo as hipóteses do Teste de Leibniz são satisfeitas e a série em x=1 converge. Porém a convergência não é absoluta: a série dos valores absolutos é
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n},
e esta série diverge (pode-se usar o Teste da Integral: \displaystyle\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}=\lim_{t\to\infty}\ln(\ln t)-\ln(\ln 2)=\infty). Portanto em x=1 temos convergência condicional.

Passo 5

Teste em x=-1:
Substituindo x=-1 obtemos
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(-1)^{n}}{n\ln n}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{2n}}{n\ln n}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n},
isto é, a mesma série de termos positivos que apareceu nos valores absolutos do caso x=1. Como já vimos, \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln n} diverge pelo teste da integral (ou pelo teste da condensação de Cauchy). Portanto a série diverge em x=-1.

Passo 6

Juntando tudo:
  • Raio de convergência R=1.
  • Para |x|<1 a série converge absolutamente.
  • Em x=1 a série converge condicionalmente.
  • Em x=-1 a série diverge.

Resposta

Raio de convergência: R=1
Intervalo de convergência: (-1,\,1]

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