Determine o raio e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
Passo 1
O enunciado pede dois objetivos: determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Informações dadas que vamos usar: o termo geral da série (para
a partir de
) é
. Note que os expoentes de
são apenas números ímpares
, e aparece um fatorial
no denominador.
Passo 2
Vamos escrever o termo geral em forma de valor absoluto (porque para testar convergência por raio, trabalhamos com o valor absoluto das parcelas). Denotando o
-ésimo termo por
, temos
e o valor absoluto é
Explico:
é só a potência de
dividida pelo fatorial, porque o sinal alternado
desaparece ao tomar valor absoluto.
Passo 3
Vou usar o Teste da Razão (ratio test), que é muito prático quando aparecem fatoriais. O Teste da Razão diz o seguinte: para uma série de termos
, se
existe, então
- se
a série converge, - se
a série diverge, - se
o teste é inconclusivo.
Aqui aplicamos o teste para cada valor fixo de
; o conjunto de
que satisfaz
será o conjunto de convergência da série. Para séries de potências isso nos dá diretamente o raio de convergência.
Passo 4
Calculemos a razão
. Usando as expressões de
e
obtemos:
Agora simplificamos as potências de
e os fatoriais:
Passo 5
Vamos tomar o limite quando
:
Como o fator
tende a
quando
(porque o denominador cresce como
), concluímos que
Explicando em palavras: o fatorial no denominador cresce muito mais rápido do que qualquer potência de
, por isso a razão tende a zero.
Passo 6
Pelo Teste da Razão, se
a série converge. Aqui
para qualquer
real, logo para todo
fixo a série converge. Isso significa que a série converge para todos os
.
Traduzindo para linguagem de séries de potências: o raio de convergência é infinito, ou seja
, e o intervalo (ou melhor, conjunto) de convergência é todo
.
Passo 7
Uma observação útil para você decorar: fazendo a mudança de índice
obtemos
que é exatamente a série de Taylor da função
. Isso confirma também que a soma é uma função inteira (definida e analítica para todo
), consistente com
. É um jeitinho prático de lembrar: séries com fatoriais costumam representar exponenciais, seno ou cosseno e têm raio infinito.