Determine o raio e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}

Passo 1

O enunciado pede dois objetivos: determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}.
Informações dadas que vamos usar: o termo geral da série (para n a partir de 1) é (-1)^{n+1}\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}. Note que os expoentes de x são apenas números ímpares (2n-1), e aparece um fatorial (2n-1)! no denominador.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral em forma de valor absoluto (porque para testar convergência por raio, trabalhamos com o valor absoluto das parcelas). Denotando o n-ésimo termo por u_n, temos
u_n = (-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!},
e o valor absoluto é
|u_n| = \frac{|x|^{2n-1}}{(2n-1)!}.
Explico: |u_n| é só a potência de |x| dividida pelo fatorial, porque o sinal alternado (-1)^{n+1} desaparece ao tomar valor absoluto.

Passo 3

Vou usar o Teste da Razão (ratio test), que é muito prático quando aparecem fatoriais. O Teste da Razão diz o seguinte: para uma série de termos u_n, se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}
existe, então
  • se L<1 a série converge,
  • se L>1 a série diverge,
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui aplicamos o teste para cada valor fixo de x; o conjunto de x que satisfaz L<1 será o conjunto de convergência da série. Para séries de potências isso nos dá diretamente o raio de convergência.

Passo 4

Calculemos a razão \dfrac{|u_{n+1}|}{|u_n|}. Usando as expressões de |u_n| e |u_{n+1}| obtemos:
\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=\frac{\dfrac{|x|^{2(n+1)-1}}{(2(n+1)-1)!}}{\dfrac{|x|^{2n-1}}{(2n-1)!}} =\frac{|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}\cdot\frac{(2n-1)!}{|x|^{2n-1}}.
Agora simplificamos as potências de |x| e os fatoriais:
\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|} =|x|^{2}\cdot\frac{(2n-1)!}{(2n+1)!} =|x|^{2}\cdot\frac{1}{(2n+1)(2n)}.

Passo 5

Vamos tomar o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|} =\lim_{n\to\infty}\left(|x|^{2}\cdot\frac{1}{(2n+1)(2n)}\right).
Como o fator \dfrac{1}{(2n+1)(2n)} tende a 0 quando n\to\infty (porque o denominador cresce como 4n^2), concluímos que
L=0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Explicando em palavras: o fatorial no denominador cresce muito mais rápido do que qualquer potência de |x|, por isso a razão tende a zero.

Passo 6

Pelo Teste da Razão, se L<1 a série converge. Aqui L=0<1 para qualquer x real, logo para todo x fixo a série converge. Isso significa que a série converge para todos os x\in\mathbb{R}.
Traduzindo para linguagem de séries de potências: o raio de convergência é infinito, ou seja R=\infty, e o intervalo (ou melhor, conjunto) de convergência é todo (-\infty,\infty).

Passo 7

Uma observação útil para você decorar: fazendo a mudança de índice k=n-1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!},
que é exatamente a série de Taylor da função \sin x. Isso confirma também que a soma é uma função inteira (definida e analítica para todo x), consistente com R=\infty. É um jeitinho prático de lembrar: séries com fatoriais costumam representar exponenciais, seno ou cosseno e têm raio infinito.

Resposta

R=\infty\nIntervalo de convergência: (-\infty,\infty)

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