Determine o raio e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
\sum_{n=0}^{\infty} n!x^{n}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=0}^{\infty} n!x^{n}.
Informações dadas: a série é centrada em 0 (termos da forma a_n x^n com a_n=n!).
O que precisamos entregar: o valor do raio de convergência R e quais valores de x fazem a série convergir (intervalo ou conjunto de convergência).

Passo 2

Vou explicar a ideia chave: para uma série de potências centrada em 0,
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
existe um número R\in[0,\infty] tal que a série converge para todos x com |x|<R, diverge para todos x com |x|>R, e os pontos |x|=R precisam ser verificados caso a caso. Esse R chama-se raio de convergência e pode ser obtido pela fórmula de Cauchy–Hadamard:
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Aqui a_n=n!. Vou usar essa fórmula porque ela é direta: basta estudar \sqrt[n]{n!}.

Passo 3

Vamos estimar \sqrt[n]{n!}. Para n\ge 2 podemos separar os fatores de n! em duas partes e obter uma desigualdade simples e útil. Escreva
n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots (n/2)\cdot (n/2+1)\cdots n.
n/2 fatores na segunda metade, e cada um desses fatores é pelo menos n/2. Logo
n! \ge \bigl(n/2\bigr)^{\,n/2}\quad\text{para }n\ge 2.
Tire a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{n!} \ge \sqrt[n]{\bigl(n/2\bigr)^{\,n/2}} = \bigl(n/2\bigr)^{1/2} = \sqrt{\frac{n}{2}}.
Como \sqrt{n/2}\to\infty quando n\to\infty, concluímos que
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!} = +\infty,
portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} = +\infty.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Cauchy–Hadamard com o resultado anterior,
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}}=\frac{1}{+\infty}=0.
Isto significa que o raio de convergência da série é 0: a série não converge em nenhum intervalo aberto ao redor de 0 exceto possivelmente em 0 mesmo.

Passo 5

Para completar, é bom verificar diretamente o comportamento para x\neq 0 (uma verificação alternativa e intuitiva). Use o teste da razão nos termos u_n=n!x^n. Calcule
\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=\frac{(n+1)!\,|x|^{\,n+1}}{n!\,|x|^n}=(n+1)\,|x|.
Se x\neq 0, então (n+1)\,|x|\to\infty quando n\to\infty. Pelo teste da razão, se o limite das razões é maior que 1 (aqui é infinito), a série diverge. Assim, para todo x\neq 0 a série diverge. Além disso, uma série só pode convergir se seus termos vão para 0; mas \lim_{n\to\infty} n!x^n não é 0 para x\neq 0, confirmando a divergência.

Passo 6

Verifique o caso x=0: o termo geral é n!0^n. Para n=0 o termo é 0!\,0^0, e por convenção em séries de potências tomamos x^0=1, então o termo n=0 vale 0!=1. Para n\ge 1 temos 0^n=0 e então n!0^n=0. Portanto a soma da série em x=0 é 1. Logo a série converge em x=0.

Passo 7

Resumo didático e comparação rápida: o comportamento “fatorial no numerador” (aqui n!) cresce muito mais rápido que qualquer potência c^n, por isso não existe intervalo não-trivial onde n!x^n tenda a zero. Isso contrasta com séries como \sum x^n/n! (a série da exponencial), que tem raio de convergência infinito porque os fatores n! estão no denominador.

Resposta

R=0
Converge somente para x=0 (ou seja, conjunto de convergência \{0\}).

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