Determine o raio e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
.
Informações dadas: a série é centrada em (termos da forma
com
).
O que precisamos entregar: o valor do raio de convergência e quais valores de
fazem a série convergir (intervalo ou conjunto de convergência).
Informações dadas: a série é centrada em
O que precisamos entregar: o valor do raio de convergência
Passo 2
Vou explicar a ideia chave: para uma série de potências centrada em
,
existe um número
tal que a série converge para todos
com
, diverge para todos
com
, e os pontos
precisam ser verificados caso a caso. Esse
chama-se raio de convergência e pode ser obtido pela fórmula de Cauchy–Hadamard:
Aqui
. Vou usar essa fórmula porque ela é direta: basta estudar
.
Passo 3
Vamos estimar
. Para
podemos separar os fatores de
em duas partes e obter uma desigualdade simples e útil. Escreva
Há
fatores na segunda metade, e cada um desses fatores é pelo menos
. Logo
Tire a raiz
-ésima:
Como
quando
, concluímos que
portanto
Passo 4
Aplicando a fórmula de Cauchy–Hadamard com o resultado anterior,
Isto significa que o raio de convergência da série é
: a série não converge em nenhum intervalo aberto ao redor de
exceto possivelmente em
mesmo.
Passo 5
Para completar, é bom verificar diretamente o comportamento para
(uma verificação alternativa e intuitiva). Use o teste da razão nos termos
. Calcule
Se
, então
quando
. Pelo teste da razão, se o limite das razões é maior que
(aqui é infinito), a série diverge. Assim, para todo
a série diverge. Além disso, uma série só pode convergir se seus termos vão para
; mas
não é
para
, confirmando a divergência.
Passo 6
Verifique o caso
: o termo geral é
. Para
o termo é
, e por convenção em séries de potências tomamos
, então o termo
vale
. Para
temos
e então
. Portanto a soma da série em
é
. Logo a série converge em
.
Passo 7
Resumo didático e comparação rápida: o comportamento “fatorial no numerador” (aqui
) cresce muito mais rápido que qualquer potência
, por isso não existe intervalo não-trivial onde
tenda a zero. Isso contrasta com séries como
(a série da exponencial), que tem raio de convergência infinito porque os fatores
estão no denominador.
Resposta
Converge somente para
(ou seja, conjunto de convergência
).