Determine o raio e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}
e pede duas coisas: o raio de convergência e o intervalo de convergência. Informações relevantes que temos: (1) o índice somatório é n=0,1,2,\dots; (2) os termos usam apenas potências pares de x, isto é aparecem x^{2n}; (3) o coeficiente geral associado a x^{2n} é \dfrac{2^{n}}{(2n)!}. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Decidimos um método para estudar a convergência: usar o Teste da Razão (também chamado de Critério da Razão) aplicado ao termo geral da sequência de somandos. Vou ensinar o teste antes de aplicar. Seja uma série de termos u_n. O Teste da Razão diz que se existir
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|,
então
  • se L<1 a série converge absolutamente;
  • se L>1 diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
No nosso caso o termo geral é
u_n=\frac{2^{n}}{(2n)!}\,x^{2n}.
Vamos calcular \left|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right| e seu limite.

Passo 3

Calculemos a razão entre termos consecutivos. Primeiro escrevo u_{n+1} explicitamente:
u_{n+1}=\frac{2^{\,n+1}}{(2(n+1))!}\,x^{2(n+1)}=\frac{2^{\,n+1}}{(2n+2)!}\,x^{2n+2}.
Agora a razão absoluta:
\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| =\frac{\dfrac{2^{\,n+1}}{(2n+2)!}\,|x|^{2n+2}}{\dfrac{2^{n}}{(2n)!}\,|x|^{2n}} =\frac{2^{\,n+1}}{2^{n}}\cdot\frac{(2n)!}{(2n+2)!}\cdot|x|^{2}.

Passo 4

Simplifico a expressão obtida. Note que \dfrac{2^{\,n+1}}{2^{n}}=2. Também usamos a relação fatorial
(2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!,
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\frac{(2n)!}{(2n+2)!}=\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}.
Substituindo na razão:
\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| =2\cdot\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}\cdot|x|^{2} =\frac{2|x|^{2}}{(2n+2)(2n+1)}.

Passo 5

Agora calculamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2|x|^{2}}{(2n+2)(2n+1)}.
Para n grande o denominador cresce como (2n)^2, então o limite é 0 para qualquer valor fixo de x. Formalmente:
L=0.

Passo 6

Interpretação do resultado do Teste da Razão: como L=0<1 (independente de x), a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}. Convergência absoluta implica convergência ordinária, portanto a série converge para qualquer real.

Passo 7

Tradução para raio e intervalo de convergência. O fato de convergir para todo x significa que o raio de convergência é infinito. Em notação:
R=\infty.
O intervalo de convergência, isto é o conjunto de x\in\mathbb{R} em que a série converge, é todo o eixo real:
(-\infty,\infty).

Resposta

Raio de convergência: R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

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