Determine o raio e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}
e pede duas coisas: o raio de convergência e o intervalo de convergência. Informações relevantes que temos: (1) o índice somatório é n=0,1,2,\dots; (2) os termos usam apenas potências pares de x, isto é aparecem x^{2n}; (3) o coeficiente geral associado a x^{2n} é \dfrac{2^{n}}{(2n)!}. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Decidimos um método para estudar a convergência: usar o Teste da Razão (também chamado de Critério da Razão) aplicado ao termo geral da sequência de somandos. Vou ensinar o teste antes de aplicar. Seja uma série de termos u_n. O Teste da Razão diz que se existir
Para n grande o denominador cresce como (2n)^2, então o limite é 0 para qualquer valor fixo de x. Formalmente:
L=0.
Passo 6
Interpretação do resultado do Teste da Razão: como L=0<1 (independente de x), a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}. Convergência absoluta implica convergência ordinária, portanto a série converge para qualquer real.
Passo 7
Tradução para raio e intervalo de convergência. O fato de convergir para todo x significa que o raio de convergência é infinito. Em notação:
R=\infty.
O intervalo de convergência, isto é o conjunto de x\in\mathbb{R} em que a série converge, é todo o eixo real:
(-\infty,\infty).
Resposta
Raio de convergência: R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)