Determine a raiz cúbica de 5 com uma casa decimal obtendo a solução numérica da equação x^{3}-5=0 no intervalo [1,2] :
(a) Calcule o número mínimo de iterações necessárias para atingir uma precisão b_{k}-a_{k}<\varepsilon=0,05 usando o método da bissecção.
(b) Determine a raíz usando o método da bissecção.
(c) Determine a raíz usando o método da posição falsa.

Passo 1

O enunciado dá a equação \;x^{3}-5=0\; no intervalo [1,2] e pede:
(a) o número mínimo de iterações do método da bissecção para obter \;b_{k}-a_{k}<\varepsilon=0,05;\n
(b) encontrar a raiz pelo método da bissecção (usando a precisão \varepsilon=0,05 indicada);\n
(c) encontrar a raiz pelo método da posição falsa (regula falsi), com precisão suficiente para determinar a raiz com uma casa decimal.\n
Informações importantes dadas:
  • Função: \;f(x)=x^{3}-5.\n
  • Intervalo inicial: \;a_0=1,\;b_0=2.\n
  • Valores iniciais: \;f(1)=1^{3}-5=-4 (negativo) e \;f(2)=2^{3}-5=3 (positivo), logo há raiz em [1,2] por continuidade.\n

Passo 2

(a) Número mínimo de iterações da bissecção para \;b_{k}-a_{k}<\varepsilon=0,05.
Explicação do método (curta): a cada iteração da bissecção o comprimento do intervalo é cortado pela metade. Se o comprimento inicial é \;L_0=b_0-a_0, após n iterações o comprimento é
L_n=\frac{L_0}{2^{n}}.
Aqui \;L_0=2-1=1. Queremos \;L_n<\varepsilon, ou seja
\frac{1}{2^{n}}<0,05.
Resolver para n:
2^{n}> \frac{1}{0,05}=20.
Tomando logaritmo base 2,
n>\log_{2}(20).
Calcule:
\log_{2}(20)=\frac{\ln 20}{\ln 2}\approx\frac{2{,}995732}{0{,}693147}\approx4{,}3219\ldots
Portanto o menor n inteiro que satisfaz é n=5, pois para n=4 tem-se 1/2^{4}=0{,}0625\ge0{,}05 e para n=5 tem-se 1/2^{5}=0{,}03125<0{,}05.
Conclusão do item (a): o número mínimo de iterações é n=5.

Passo 3

(b) Aplicação do método da bissecção (faço as iterações até n=5 e mostro os sinais passo a passo).
Definimos \;f(x)=x^{3}-5.
Iteração 1:
a_0=1,\quad b_0=2,\quad m_1=\frac{a_0+b_0}{2}=1{,}5.
Calcule:
f(1{,}5)=1{,}5^{3}-5=3{,}375-5=-1{,}625<0.
Como f(m_1) e f(b_0) têm sinais opostos ( -1{,}625 e +3), a raiz está em [1{,}5,2].
Portanto a_1=1{,}5,\;b_1=2.
Iteração 2:
m_2=\frac{1{,}5+2}{2}=1{,}75.
Calcule:
f(1{,}75)=1{,}75^{3}-5=5{,}359375-5=0{,}359375>0.
Sinais opostos entre f(a_1)=-1{,}625 e f(m_2)=+0{,}359375, logo a raiz está em [1{,}5,1{,}75].
Portanto a_2=1{,}5,\;b_2=1{,}75.
Iteração 3:
m_3=\frac{1{,}5+1{,}75}{2}=1{,}625.
Calcule:
f(1{,}625)=1{,}625^{3}-5=4{,}291015625-5=-0{,}708984375<0.
Sinais opostos entre f(m_3) e f(b_2), logo a raiz está em [1{,}625,1{,}75].
Portanto a_3=1{,}625,\;b_3=1{,}75.
Iteração 4:
m_4=\frac{1{,}625+1{,}75}{2}=1{,}6875.
Calcule:
f(1{,}6875)=1{,}6875^{3}-5=4{,}80517578125-5=-0{,}19482421875<0.
Sinais opostos entre f(m_4) e f(b_3), logo a raiz está em [1{,}6875,1{,}75].
Portanto a_4=1{,}6875,\;b_4=1{,}75.
Iteração 5:
m_5=\frac{1{,}6875+1{,}75}{2}=1{,}71875.
Calcule:
f(1{,}71875)=1{,}71875^{3}-5=5{,}07733154296875-5=0{,}07733154296875>0.
Agora f(a_4)=-0{,}1948 e f(m_5)=+0{,}07733, então a raiz está em [1{,}6875,1{,}71875].
Após n=5 iterações o intervalo final é
[a_5,b_5]=[1{,}6875,\;1{,}71875],
com comprimento
b_5-a_5=0{,}03125<0{,}05,
como requerido.
Estimativa pela bissecção: normalmente toma-se o ponto médio do intervalo final como aproximação:
x_{\text{bis}}=\frac{1{,}6875+1{,}71875}{2}=1{,}703125.
Para obter a raiz com uma casa decimal, arredondamos 1{,}703125 para uma casa decimal: 1{,}7.

Passo 4

(c) Método da posição falsa (regula falsi): explicação e aplicação até obter raiz com uma casa decimal.
Fórmula do ponto de interpolação (posição falsa): dada uma iteração com extremos a e b e valores f(a) e f(b) de sinais opostos, a aproximação é
c = \frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)},
que é a interseção da reta que une (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x.
Aplicação inicial com a_0=1,\;b_0=2, f(1)=-4,\;f(2)=3.
Iteração 1 (posição falsa):
c_1=\frac{1\cdot 3 - 2\cdot(-4)}{3-(-4)}=\frac{3+8}{7}=\frac{11}{7}\approx1{,}571428571.
Calcule
f\!\left(\frac{11}{7}\right)=\left(\frac{11}{7}\right)^{3}-5=\frac{1331}{343}-5=\frac{1331-1715}{343}=-\frac{384}{343}\approx-1{,}119.
Sinal negativo, logo novo intervalo [\tfrac{11}{7},2].
Iteração 2:
Use a_1=\tfrac{11}{7},\;b_1=2 e f(a_1)=-\tfrac{384}{343},\;f(b_1)=3.
c_2=\frac{\tfrac{11}{7}\cdot 3 - 2\cdot\left(-\tfrac{384}{343}\right)}{3-(-\tfrac{384}{343})} =\frac{\tfrac{33}{7}+\tfrac{768}{343}}{3+\tfrac{384}{343}} =\frac{2385}{1413}=\frac{265}{157}\approx1{,}687898089.
Calcule (exato):
f\!\left(\frac{265}{157}\right)=\left(\frac{265}{157}\right)^{3}-5=-\frac{739840}{3869893}\approx-0{,}191303.
Sinal negativo, logo novo intervalo [\tfrac{265}{157},2].
Iteração 3:
Use a_2=\tfrac{265}{157},\;b_2=2, f(a_2)\approx-0{,}191303,\;f(b_2)=3.
Aplicando a fórmula (podemos usar a forma racional com denominadores comuns para maior exatidão):
c_3=\frac{a_2\cdot 3 - 2\cdot f(a_2)}{3 - f(a_2)} =\frac{3\cdot\frac{265}{157}-2\cdot\left(-\frac{739840}{3869893}\right)} {3-(-\frac{739840}{3869893})} =\frac{21075635}{12349519}\approx1{,}707078\ldots
(na prática o calculo racional reduz a \displaystyle c_3=\frac{21075635}{12349519} ou, em decimal, \approx1{,}70708). Observação: o valor real da raiz é \approx1{,}7099759, portanto c_3 ainda é um pouco menor que a raiz verdadeira, e f(c_3)<0, o que daria novo intervalo [c_3,2].
Já com c_3\approx1{,}70708 temos a primeira casa decimal igual a 1{,}7. Para garantir corretamente o arredondamento à primeira casa decimal precisamos de erro menor que 0{,}05; aqui a diferença entre c_3 e o valor verdadeiro é menor que 0{,}05 (de fato o erro é da ordem de 10^{-3}), portanto basta para uma casa decimal.
Conclusão do item (c): a posição falsa após três iterações fornece c_3\approx1{,}70708, que arredondado a uma casa decimal é 1{,}7.

Passo 5

Resumo didático rápido e encorajamento: a bissecção precisa de 5 iterações para garantir intervalo menor que 0{,}05; a estimativa média obtida é 1{,}703125 e, arredondando para uma casa decimal, dá 1{,}7. A posição falsa converge um pouco mais rápido aqui: em três iterações obteve-se 1{,}70708, que também arredonda para 1{,}7. Ambos os métodos dão, na prática, a mesma casa decimal solicitada. Bom trabalho — já estás com a resposta pronta para anotar na prova!

Resposta

(a) 5\n
(b) 1{,}7\n
(c) 1{,}7

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