Determine a raiz cúbica de 5 com uma casa decimal obtendo a solução numérica da equação
no intervalo
:
(a) Calcule o número mínimo de iterações necessárias para atingir uma precisão
usando o método da bissecção.
(b) Determine a raíz usando o método da bissecção.
(c) Determine a raíz usando o método da posição falsa.
(a) Calcule o número mínimo de iterações necessárias para atingir uma precisão
(b) Determine a raíz usando o método da bissecção.
(c) Determine a raíz usando o método da posição falsa.
Passo 1
O enunciado dá a equação
no intervalo
e pede:
(a) o número mínimo de iterações do método da bissecção para obter ;\n
(b) encontrar a raiz pelo método da bissecção (usando a precisão indicada);\n
(c) encontrar a raiz pelo método da posição falsa (regula falsi), com precisão suficiente para determinar a raiz com uma casa decimal.\n
(a) o número mínimo de iterações do método da bissecção para obter
(b) encontrar a raiz pelo método da bissecção (usando a precisão
(c) encontrar a raiz pelo método da posição falsa (regula falsi), com precisão suficiente para determinar a raiz com uma casa decimal.\n
Informações importantes dadas:
- Função:
.\n - Intervalo inicial:
.\n - Valores iniciais:
(negativo) e (positivo), logo há raiz em por continuidade.\n
Passo 2
(a) Número mínimo de iterações da bissecção para
.
Explicação do método (curta): a cada iteração da bissecção o comprimento do intervalo é cortado pela metade. Se o comprimento inicial é
, após
iterações o comprimento é
Aqui
. Queremos
, ou seja
Resolver para
:
Tomando logaritmo base 2,
Calcule:
Portanto o menor
inteiro que satisfaz é
, pois para
tem-se
e para
tem-se
.
Conclusão do item (a): o número mínimo de iterações é
.
Passo 3
(b) Aplicação do método da bissecção (faço as iterações até
e mostro os sinais passo a passo).
Definimos
.
Iteração 1:
Calcule:
Como
e
têm sinais opostos (
e
), a raiz está em
.
Portanto .
Portanto
Iteração 2:
Calcule:
Sinais opostos entre
e
, logo a raiz está em
.
Portanto .
Portanto
Iteração 3:
Calcule:
Sinais opostos entre
e
, logo a raiz está em
.
Portanto .
Portanto
Iteração 4:
Calcule:
Sinais opostos entre
e
, logo a raiz está em
.
Portanto .
Portanto
Iteração 5:
Calcule:
Agora
e
, então a raiz está em
.
Após
iterações o intervalo final é
com comprimento
como requerido.
Estimativa pela bissecção: normalmente toma-se o ponto médio do intervalo final como aproximação:
Para obter a raiz com uma casa decimal, arredondamos
para uma casa decimal:
.
Passo 4
(c) Método da posição falsa (regula falsi): explicação e aplicação até obter raiz com uma casa decimal.
Fórmula do ponto de interpolação (posição falsa): dada uma iteração com extremos
e
e valores
e
de sinais opostos, a aproximação é
que é a interseção da reta que une
e
com o eixo
.
Aplicação inicial com
,
.
Iteração 1 (posição falsa):
Calcule
Sinal negativo, logo novo intervalo
.
Iteração 2:
Use e
.
Use
Calcule (exato):
Sinal negativo, logo novo intervalo
.
Iteração 3:
Use ,
.
Aplicando a fórmula (podemos usar a forma racional com denominadores comuns para maior exatidão):
Use
Aplicando a fórmula (podemos usar a forma racional com denominadores comuns para maior exatidão):
(na prática o calculo racional reduz a
ou, em decimal,
). Observação: o valor real da raiz é
, portanto
ainda é um pouco menor que a raiz verdadeira, e
, o que daria novo intervalo
.
Já com
temos a primeira casa decimal igual a
. Para garantir corretamente o arredondamento à primeira casa decimal precisamos de erro menor que
; aqui a diferença entre
e o valor verdadeiro é menor que
(de fato o erro é da ordem de
), portanto basta para uma casa decimal.
Conclusão do item (c): a posição falsa após três iterações fornece
, que arredondado a uma casa decimal é
.
Passo 5
Resumo didático rápido e encorajamento: a bissecção precisa de
iterações para garantir intervalo menor que
; a estimativa média obtida é
e, arredondando para uma casa decimal, dá
. A posição falsa converge um pouco mais rápido aqui: em três iterações obteve-se
, que também arredonda para
. Ambos os métodos dão, na prática, a mesma casa decimal solicitada. Bom trabalho — já estás com a resposta pronta para anotar na prova!
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)