Determine a raiz de
:
(a) Usando o método da bisseção. Comece com
e
e realize as primeiras três iterações.
(b) Usando o método da posição falsa. Comece com
e
e realize as primeiras três iterações.
(c) Cada um dos métodos forneceu a raíz com quantas casas decimal após3 iterações?
(d) Sabendo que a raíz exata é 0,703467 , qual método se aproximou mais da solução exata.
(a) Usando o método da bisseção. Comece com
(b) Usando o método da posição falsa. Comece com
(c) Cada um dos métodos forneceu a raíz com quantas casas decimal após3 iterações?
(d) Sabendo que a raíz exata é 0,703467 , qual método se aproximou mais da solução exata.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a raiz de
no intervalo inicial
,
, usando dois métodos numéricos (bisseção e posição falsa) e realizar as primeiras três iterações de cada método. Depois pede comparar quantas casas decimais cada método acertou após 3 iterações e indicar qual ficou mais perto da raiz exata dada
.
Informações fornecidas e verificações iniciais (peguei estes valores do enunciado e calculei):
- Função:
. - Pontos iniciais:
e . - Valores nos extremos:
Como
e
têm sinais opostos (
e
), existe ao menos uma raiz no intervalo
. Vamos para os métodos.
Passo 2
Bisseção — explicação do método (aula rápida e prática)
- Ideia: dividir o intervalo
ao meio e ver em qual subintervalo a função muda de sinal; assim garantimos que a raiz está naquele subintervalo. Repetir. - Fórmula do ponto médio:
- Critério para escolher o novo intervalo: se
a raiz está em ; se a raiz está em . - Vantagem: convergência garantida (mas linear). Agora aplicamos 3 iterações, calculando
e explicitamente (vou mostrar as contas para cada iteração).
Iteração 1 (iteração inicial = 1)
Ponto médio:
Avaliar
:
Sinal:
e
(mesmo sinal), mas
. Logo a raiz está em
. Então após a iteração 1:
Iteração 2
Avaliar
:
Sinal:
e
. Mudou de sinal entre
e
. Então o novo intervalo é
. Após a iteração 2:
Iteração 3
Avaliar
:
Sinal:
e
, logo a raiz está em
.
Resumo bisseção (primeiras três iterações):
-
, , novo intervalo . -
, , novo intervalo . -
, , novo intervalo .
Interpretando: após 3 iterações a aproximação pela bisseção é
.
Passo 3
Posição falsa (regula falsi) — explicação do método
- Ideia: aproximar a função por uma reta que liga
e e tomar a interseção desta reta com o eixo como nova aproximação. A fórmula do ponto é: que é algebraicamente equivalente a - Depois avaliar
e substituir o extremo que tem mesmo sinal que . O método costuma convergir mais rápido que bisseção para muitos problemas porque usa a informação do valor da função, mas pode prender um extremo se a função se comportar mal.
Agora aplicamos 3 iterações (mostrando as contas).
Dados iniciais (novamente):
Iteração 1
Como , a fórmula simplifica (usando a forma com numerador):
Como
Com
,
Avaliar
:
(aproximações apresentadas com 6 casas decimais). O sinal foi negativo (mesmo de
), portanto substituímos
por
. Novo intervalo:
Iteração 2
Usando a fórmula geral:
Usando a fórmula geral:
Substituindo números aproximados
, obtemos
Avaliar
:
Sinal negativo; então substituímos
por
:
Iteração 3
Repetindo:
Repetindo:
Com
,
Avaliar
:
Sinal ainda negativo, portanto após 3 iterações temos
.
Resumo posição falsa (primeiras três iterações):
-
, , novo intervalo . -
, , novo intervalo . -
, , novo intervalo .
Interpretando: após 3 iterações a aproximação pela posição falsa é
.
Passo 4
Quantas casas decimais corretas após 3 iterações?
- Definição prática usada aqui: contamos quantas casas decimais consecutivas, a partir da primeira casa decimal, coincidem entre a aproximação e a raiz exata
.
-
Bisseção: aproximação
.
Comparando com: - primeira casa decimal:
(em ) versus (em ) — já difere.
Portanto, a bisseção acertoucasas decimais após 3 iterações.
- primeira casa decimal:
-
Posição falsa: aproximação
.
Comparando com: - primeira casa decimal:
= . - segunda casa decimal:
= . - terceira casa decimal:
(aprox.) versus (exata) — difere na terceira.
Portanto, a posição falsa acertoucasas decimais após 3 iterações.
- primeira casa decimal:
Passo 5
Qual método se aproximou mais da solução exata
?
- Erro absoluto após 3 iterações:
- Conclusão: o método da posição falsa aproximou-se muito mais da raiz exata após 3 iterações (erro muito menor e duas casas decimais corretas), enquanto a bisseção não acertou nenhuma casa decimal após 3 iterações.
Resposta
(a) Bisseção —
.\n
(b) Posição falsa — .\n
(c) Casas decimais corretas após 3 iterações: bisseção = casas; posição falsa =
casas.\n
(d) A posição falsa aproximou-se mais da solução exata (erro contra
da bisseção).
(b) Posição falsa —
(c) Casas decimais corretas após 3 iterações: bisseção =
(d) A posição falsa aproximou-se mais da solução exata (erro