Determine a raiz de f(x)=x^{2}-e^{-x} :
(a) Usando o método da bisseção. Comece com a=0 e b=1 e realize as primeiras três iterações.
(b) Usando o método da posição falsa. Comece com a=0 e b=1 e realize as primeiras três iterações.
(c) Cada um dos métodos forneceu a raíz com quantas casas decimal após3 iterações?
(d) Sabendo que a raíz exata é 0,703467 , qual método se aproximou mais da solução exata.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz de f(x)=x^{2}-e^{-x} no intervalo inicial a=0, b=1, usando dois métodos numéricos (bisseção e posição falsa) e realizar as primeiras três iterações de cada método. Depois pede comparar quantas casas decimais cada método acertou após 3 iterações e indicar qual ficou mais perto da raiz exata dada 0,703467.
Informações fornecidas e verificações iniciais (peguei estes valores do enunciado e calculei):
  • Função: f(x)=x^{2}-e^{-x}.
  • Pontos iniciais: a=0 e b=1.
  • Valores nos extremos: f(0)=0^{2}-e^{0}=-1,
f(1)=1^{2}-e^{-1}=1-e^{-1}\approx 1-0,3678794\approx 0,6321206.
Como f(0) e f(1) têm sinais opostos ( -1 e +0,6321206), existe ao menos uma raiz no intervalo [0,1]. Vamos para os métodos.

Passo 2

Bisseção — explicação do método (aula rápida e prática)
  • Ideia: dividir o intervalo [a,b] ao meio e ver em qual subintervalo a função muda de sinal; assim garantimos que a raiz está naquele subintervalo. Repetir.
  • Fórmula do ponto médio: c=\frac{a+b}{2}.
  • Critério para escolher o novo intervalo: se f(a)\,f\text{(c)}<0 a raiz está em [a,c]; se f\text{(c)}\,f(b)<0 a raiz está em [c,b].
  • Vantagem: convergência garantida (mas linear). Agora aplicamos 3 iterações, calculando c e f\text{(c)} explicitamente (vou mostrar as contas para cada iteração).
Iteração 1 (iteração inicial = 1)
a_{0}=0,\qquad b_{0}=1.
Ponto médio:
c_{1}=\frac{0+1}{2}=0,5.
Avaliar f(c_{1}):
f(0,5)=0,5^{2}-e^{-0,5}=0,25-e^{-0,5}\approx 0,25-0,60653066\approx -0,35653066.
Sinal: f(0)=-1<0 e f(0,5)\approx-0,3565<0 (mesmo sinal), mas f(1)>0. Logo a raiz está em [0,5,\,1]. Então após a iteração 1:
a_{1}=0,5,\qquad b_{1}=1.
Iteração 2
c_{2}=\frac{0,5+1}{2}=0,75.
Avaliar f(c_{2}):
f(0,75)=0,75^{2}-e^{-0,75}=0,5625-e^{-0,75}\approx 0,5625-0,47236655\approx 0,09013345.
Sinal: f(0,5)\approx-0,3565<0 e f(0,75)\approx+0,09013>0. Mudou de sinal entre 0,5 e 0,75. Então o novo intervalo é [0,5,\,0,75]. Após a iteração 2:
a_{2}=0,5,\qquad b_{2}=0,75.
Iteração 3
c_{3}=\frac{0,5+0,75}{2}=0,625.
Avaliar f(c_{3}):
f(0,625)=0,625^{2}-e^{-0,625}=0,390625-e^{-0,625}\approx 0,390625-0,53526143\approx -0,14463643.
Sinal: f(0,625)<0 e f(0,75)>0, logo a raiz está em [0,625,\,0,75].
Resumo bisseção (primeiras três iterações):
  • c_{1}=0,5, f(c_{1})\approx-0,35653066, novo intervalo [0,5,\,1].
  • c_{2}=0,75, f(c_{2})\approx0,09013345, novo intervalo [0,5,\,0,75].
  • c_{3}=0,625, f(c_{3})\approx-0,14463643, novo intervalo [0,625,\,0,75].
Interpretando: após 3 iterações a aproximação pela bisseção é c_{3}=0,625.

Passo 3

Posição falsa (regula falsi) — explicação do método
  • Ideia: aproximar a função por uma reta que liga (a,f(a)) e (b,f(b)) e tomar a interseção desta reta com o eixo x como nova aproximação. A fórmula do ponto é: x_{r}=b-f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}que é algebraicamente equivalente a x_{r}=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
  • Depois avaliar f(x_{r}) e substituir o extremo que tem mesmo sinal que f(x_{r}). O método costuma convergir mais rápido que bisseção para muitos problemas porque usa a informação do valor da função, mas pode prender um extremo se a função se comportar mal.
Agora aplicamos 3 iterações (mostrando as contas).
Dados iniciais (novamente):
a_{0}=0,\qquad f(a_{0})=-1;\qquad b_{0}=1,\qquad f(b_{0})\approx0,6321206.
Iteração 1
Como a_{0}=0, a fórmula simplifica (usando a forma com numerador):
x_{1}=\frac{a_{0}f(b_{0})-b_{0}f(a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})}=\frac{0\cdot f(b_{0})-1\cdot(-1)}{f(b_{0})-(-1)}=\frac{1}{f(b_{0})+1}.
Com f(b_{0})\approx0,6321206,
x_{1}\approx\frac{1}{1,6321206}\approx 0,612743.
Avaliar f(x_{1}):
f(0,612743)\approx 0,612743^{2}-e^{-0,612743}\approx 0,375454 - 0,541709\approx -0,166255
(aproximações apresentadas com 6 casas decimais). O sinal foi negativo (mesmo de f(a_{0})), portanto substituímos a_{0} por x_{1}. Novo intervalo:
a_{1}=0,612743,\qquad b_{1}=1.
Iteração 2
Usando a fórmula geral:
x_{2}=\frac{a_{1}f(b_{1})-b_{1}f(a_{1})}{f(b_{1})-f(a_{1})}.
Substituindo números aproximados a_{1}\approx0,612743,\\ f(a_{1})\approx-0,166255,\\ f(b_{1})\approx0,6321206, obtemos
x_{2}\approx\frac{0,612743\cdot0,6321206 - 1\cdot(-0,166255)}{0,6321206-(-0,166255)} \approx\frac{0,387327+0,166255}{0,7983756}\approx\frac{0,553582}{0,7983756}\approx 0,693300.
Avaliar f(x_{2}):
f(0,693300)\approx 0,693300^{2}-e^{-0,693300}\approx 0,480658 - 0,500407\approx -0,019749.
Sinal negativo; então substituímos a_{1} por x_{2}:
a_{2}=0,693300,\qquad b_{2}=1.
Iteração 3
Repetindo:
x_{3}=\frac{a_{2}f(b_{2})-b_{2}f(a_{2})}{f(b_{2})-f(a_{2})}.
Com a_{2}\approx0,693300,\\ f(a_{2})\approx-0,019749,\\ f(b_{2})\approx0,6321206,
x_{3}\approx\frac{0,693300\cdot0,6321206 - 1\cdot(-0,019749)}{0,6321206-(-0,019749)} \approx\frac{0,438072+0,019749}{0,6518696}\approx\frac{0,457821}{0,6518696}\approx 0,702310.
Avaliar f(x_{3}):
f(0,702310)\approx 0,702310^{2}-e^{-0,702310}\approx 0,493243 - 0,495439\approx -0,002196.
Sinal ainda negativo, portanto após 3 iterações temos x_{3}\approx0,702310.
Resumo posição falsa (primeiras três iterações):
  • x_{1}\approx 0,612743, f(x_{1})\approx-0,166255, novo intervalo [0,612743,\,1].
  • x_{2}\approx 0,693300, f(x_{2})\approx-0,019749, novo intervalo [0,693300,\,1].
  • x_{3}\approx 0,702310, f(x_{3})\approx-0,002196, novo intervalo [0,702310,\,1].
Interpretando: após 3 iterações a aproximação pela posição falsa é x_{3}\approx0,702310.

Passo 4

Quantas casas decimais corretas após 3 iterações?
  • Definição prática usada aqui: contamos quantas casas decimais consecutivas, a partir da primeira casa decimal, coincidem entre a aproximação e a raiz exata \,0,703467.
  1. Bisseção: aproximação c_{3}=0,625.
    Comparando com 0,703467:
    • primeira casa decimal: 6 (em 0,625) versus 7 (em 0,703467) — já difere.
      Portanto, a bisseção acertou 0 casas decimais após 3 iterações.
  2. Posição falsa: aproximação x_{3}\approx0,702310.
    Comparando com 0,703467:
    • primeira casa decimal: 7 = 7.
    • segunda casa decimal: 0 = 0.
    • terceira casa decimal: 2 (aprox.) versus 3 (exata) — difere na terceira.
      Portanto, a posição falsa acertou 2 casas decimais após 3 iterações.

Passo 5

Qual método se aproximou mais da solução exata 0,703467?
  • Erro absoluto após 3 iterações: \text{erro}_{\text{bissec}}=|0,703467-0,625|=0,078467\approx7,8467\times10^{-2}.
\text{erro}_{\text{falsa}}=|0,703467-0,702310|\approx0,001157\approx1,157\times10^{-3}.
  • Conclusão: o método da posição falsa aproximou-se muito mais da raiz exata após 3 iterações (erro muito menor e duas casas decimais corretas), enquanto a bisseção não acertou nenhuma casa decimal após 3 iterações.

Resposta

(a) Bisseção — c_{1}=0,5,\\ c_{2}=0,75,\\ c_{3}=0,625.\n
(b) Posição falsa — x_{1}\approx0,612743,\\ x_{2}\approx0,693300,\\ x_{3}\approx0,702310.\n
(c) Casas decimais corretas após 3 iterações: bisseção = 0 casas; posição falsa = 2 casas.\n
(d) A posição falsa aproximou-se mais da solução exata (erro \approx0,001157 contra \approx0,078467 da bisseção).

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