Determine a razão de cada uma das seguintes progressões geométricas e classifique-as em Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede duas coisas:
- Determinar a razão (ou seja, o valor de
) da progressão geométrica. - Classificar a progressão em Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
Informações úteis dadas: os três primeiros termos são
,
e
.
Passo 2
O que é uma progressão geométrica (PG) e como testar se uma sequência é PG.
- Definição: uma sequência
é uma PG se existe um número constante tal que, para todo ,
- Fórmula do termo geral: se
é o primeiro termo e a razão, então
- Para testar se três termos consecutivos formam parte de uma PG e achar
, basta calcular as razões entre termos consecutivos:
Se
então a sequência (pelo menos nos três primeiros termos) é compatível com uma PG e essa igualdade fornece a razão
. Se
, não existe uma razão única que torne todos os termos consecutivos relacionados por multiplicação por
; logo a sequência NÃO é uma PG.
Passo 3
Calcular a razão entre
e
:
Passo 4
Calcular a razão entre
e
:
Passo 5
Comparar as razões encontradas:
Como
, não existe uma única razão
que satisfaça
para esses termos. Conclusão: a sequência
NÃO é uma progressão geométrica (pelo menos com razão constante já nos três primeiros termos).
Passo 6
Classificação da sequência (Crescente/Decrescente/Constante/Oscilante).
- Definições rápidas:
- Crescente: cada termo é maior que o anterior (
para todo ). - Decrescente: cada termo é menor que o anterior (
para todo ). - Constante: todos os termos iguais (
para todo ). - Oscilante: os sinais ou valores alternam (por exemplo
ou valores que não mantêm monotonicidade).
- Crescente: cada termo é maior que o anterior (
- Aqui, olhando os três primeiros termos:
portanto, a sequência é estritamente decrescente (cada termo é menor que o anterior). Mesmo não sendo uma PG, a classificação por monotonicidade é “Decrescente”.
Passo 7
Dica útil para prova (resumo rápido para quando a sequência for realmente uma PG):
- Se for PG com razão
: - Se
então a PG é crescente. - Se
então a PG é decrescente. - Se
então é constante. - Se
então é oscilante (sinais alternam).
Guardar isso ajuda a classificar rápido quando a sequência for mesmo uma PG.
- Se
Resposta
A sequência
não é uma progressão geométrica (as razões entre termos consecutivos são
e
, diferentes).
Classificação: Decrescente.
Classificação: Decrescente.