Determine a razão de cada uma das seguintes progressões geométricas e classifique-as em Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
(10,5,1, \ldots)

Passo 1

O enunciado dá a sequência (10,5,1,\ldots) e pede duas coisas:
  • Determinar a razão (ou seja, o valor de r) da progressão geométrica.
  • Classificar a progressão em Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
Informações úteis dadas: os três primeiros termos são a_1=10, a_2=5 e a_3=1.

Passo 2

O que é uma progressão geométrica (PG) e como testar se uma sequência é PG.
  • Definição: uma sequência (a_n) é uma PG se existe um número constante r tal que, para todo n\ge1,
a_{n+1}=a_n\cdot r.
  • Fórmula do termo geral: se a_1 é o primeiro termo e r a razão, então
a_n = a_1\,r^{\,n-1}.
  • Para testar se três termos consecutivos formam parte de uma PG e achar r, basta calcular as razões entre termos consecutivos:
r_1=\frac{a_2}{a_1},\qquad r_2=\frac{a_3}{a_2}.
Se r_1=r_2 então a sequência (pelo menos nos três primeiros termos) é compatível com uma PG e essa igualdade fornece a razão r. Se r_1\neq r_2, não existe uma razão única que torne todos os termos consecutivos relacionados por multiplicação por r; logo a sequência NÃO é uma PG.

Passo 3

Calcular a razão entre a_2 e a_1:
r_1=\frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Calcular a razão entre a_3 e a_2:
r_2=\frac{a_3}{a_2}=\frac{1}{5}=\frac{1}{5}.

Passo 5

Comparar as razões encontradas:
r_1=\frac{1}{2}\quad\text{e}\quad r_2=\frac{1}{5}.
Como r_1\neq r_2, não existe uma única razão r que satisfaça a_{n+1}=a_n\cdot r para esses termos. Conclusão: a sequência (10,5,1,\ldots) NÃO é uma progressão geométrica (pelo menos com razão constante já nos três primeiros termos).

Passo 6

Classificação da sequência (Crescente/Decrescente/Constante/Oscilante).
  • Definições rápidas:
    • Crescente: cada termo é maior que o anterior ( a_{n+1}>a_n para todo n).
    • Decrescente: cada termo é menor que o anterior ( a_{n+1}<a_n para todo n).
    • Constante: todos os termos iguais ( a_{n+1}=a_n para todo n).
    • Oscilante: os sinais ou valores alternam (por exemplo +\,-\,+\,- ou valores que não mantêm monotonicidade).
  • Aqui, olhando os três primeiros termos:
10>5>1,
portanto, a sequência é estritamente decrescente (cada termo é menor que o anterior). Mesmo não sendo uma PG, a classificação por monotonicidade é “Decrescente”.

Passo 7

Dica útil para prova (resumo rápido para quando a sequência for realmente uma PG):
  • Se for PG com razão r:
    • Se r>1 então a PG é crescente.
    • Se 0<r<1 então a PG é decrescente.
    • Se r=1 então é constante.
    • Se r<0 então é oscilante (sinais alternam).
      Guardar isso ajuda a classificar rápido quando a sequência for mesmo uma PG.

Resposta

A sequência (10,5,1,\ldots) não é uma progressão geométrica (as razões entre termos consecutivos são \tfrac{5}{10}=\tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{5}, diferentes).
Classificação: Decrescente.

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